2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 15:44 
Как найти сумму следующего ряда? Мои действия ни к чему толковому не привели, поэтому прошу вашей помощи:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)! \cdot 3^n \cdot (n+1)}$$

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 15:54 
Аватара пользователя
Допишите $x^{n+1}$ и продифференцируйте по $x$.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 16:01 
thething в сообщении #1640326 писал(а):
Допишите $x^{n+1}$ и продифференцируйте по $x$.

Как раз-таки дальше этого действия я не ушел. Получил следующее:
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^n}{(2n)! \cdot 3^n}$$

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 16:04 
Аватара пользователя
И что, Вы не видите в этом ничего знакомого? Как-нибудь переобозначьте дробь $\dfrac{x}{3}$, чтобы стало совсем хорошо.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 16:05 
Аватара пользователя
Напишите $x = 3y$ и сравните с известными рядами.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 16:29 
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot y^n}{(2n)!}=-1+\cos\sqrt y$$

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 16:48 
Спасибо всем за помощь!

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 16:50 
Аватара пользователя
А что у Вас получилось в ответе?

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 16:54 
svv в сообщении #1640334 писал(а):
А что у Вас получилось в ответе?

После получения $\cos(\sqrt{y}) - 1$, я взял интеграл от этой функции. Получил следующее: $-x + 2\sqrt{3}\sin(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}})\sqrt{x} + 6\cos(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}})$

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 17:09 
Аватара пользователя
Должно быть ещё слагаемое $-6$. Неправильно нашли (или вообще не искали) постоянное слагаемое $C$ при интегрировании. Оно находится из условия, что при $x=0$ сумма должна быть равна нулю.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 17:17 
svv в сообщении #1640337 писал(а):
Должно быть ещё слагаемое $-6$. Неправильно нашли (или вообще не искали) постоянное слагаемое $C$ при интегрировании. Оно находится из условия, что при $x=0$ сумма должна быть равна нулю.

А, точно. Вы правы! Совсем забыл про это

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 17:18 
Аватара пользователя
Ну, и в самом конце $x:=1$.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.05.2024, 17:20 
svv в сообщении #1640339 писал(а):
Ну, и в самом конце $x:=1$.

Да, премного Вам благодарен. Спасибо

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group