Задача на тему Условная вероятность

[ihq.pl]

Пусть $S = \{(x,y): x^2+y^2\leqslant R^2\}$ - круг на плоскости; $\xi_1, \xi_2$ - случайные точки на круге $S$; вероятность

$$\mathsf{P}(\xi\in dS) = \frac{rdrd\varphi}{\pi R^2},$$

где $(r,\varphi)$ -- полярные координаты. Надо доказать, что расстояние $l = |\xi_1-\xi_2|$ имеет плотность распределения

$$f_l(s) = \frac{2s}{\pi R^2}\left[2\arccos(s/2R) - \frac{s}{R}\sqrt{1-\frac{s^2}{(2R)^2}} \right],\qquad (1)$$

где $0 < s < 2R$.

Идея: найти функцию распределения $F(\delta) = \mathsf{P}\{l\leqslant \delta\}$ и продифференцировать её по $\delta$. Проблема: выражение для $F(\delta)$ получается сложным и из него точно не получится (1).

Функцию распределения ищу так:

$$\mathsf{P}\{l\leqslant \delta\} = \int_{S}\mathsf{P}(l\leqslant \delta| \xi_2=(r,\varphi))\frac{rdrd\varphi}{\pi R^2}.$$

Значение условной вероятности ищу по формуле

$$\mathsf{P}(l\leqslant \delta| \xi_2=(r,\varphi)) = \int\limits_{S\cap S_\delta(r,\varphi)} \frac{\rho d\rho d\theta}{\pi R^2},$$

где $S_\delta(r,\varphi)$ - круг радиуса $\delta$ с центром в точке $(r,\varphi)\in S$; $(\rho, \theta)$ - полярные координаты (случайной точки $\xi_1$). Если $r+\delta\leqslant R$, то $S_\delta(r,\varphi)$ полностью лежит в $S$. В этом случае условная вероятность равна $\delta^2/R^2$. В случае $r+\delta>R$ нужно искать координаты точек пересечения окружностей $\{(x,y): x^2+y^2=R^2\}$ и $\{(x,y): (x-r\cos\varphi)^2+(y-r\sin\varphi)^2=\delta^2\}$. Решая уравнение

$$(R\cos\theta - r\cos\varphi)^2 + (R\sin\theta-r\sin\varphi)^2 = \delta^2$$

относительно $\theta$, нахожу полярные углы точек пересечения этих окружностей:

$$\theta_{1,2} = \varphi \pm \arccos B,$$

где $B = (R^2+r^2-\delta^2)/2rR$. Поэтому если $r+\delta>R$, то

$$\mathsf{P}(l\leqslant \delta|\xi_2=(r,\varphi)) = \frac{1}{\pi R^2} \left(\pi \delta^2 - J\right),$$

где

$$J = \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\int\limits_R^{r\cos(\theta-\varphi) + \sqrt{D}}\rho d\rho d\theta,$$

где $D = \delta^2 - r^2\sin^2(\theta-\varphi)$. То есть $J$ - это площадь $S_\delta(r,\varphi)\setminus S$.

Если это правильно, то получаются сложные выражения, из которых не получить (1). Не понимаю что делаю не так.

[ozheredov]

ihq.pl в сообщении #1639323 писал(а):

Функцию распределения ищу так:

$$\mathsf{P}\{l\leqslant \delta\} = \int_{S}\mathsf{P}(l\leqslant \delta| \xi_2=(r,\varphi))\frac{rdrd\varphi}{\pi R^2}.$$

А почему не взять в качестве базиса элементарных исходов "Точка $\xi_2$ лежит на окружности радиуса $0<r<R$"? Тогда интересующие нас точки $\xi_1$ будут лежать в кольце, а не в сложном пересечении $S \cap S_\delta$

[ihq.pl]

ozheredov
искать условную вероятность при условии $\xi_2$ лежит на окружности? В жизни бы не пришла эта мысль... Спасибо!

[ihq.pl]

Нет, что-то не то. В первый момент, правда, показалось, что это выход.

[svv]

ihq.pl
Мы получим требуемое без интегрирований. Пожалуйста, решите простую вспомогательную задачу.
Два круга одинакового радиуса $R$ перекрываются. Красный отрезок длиной $s$ лежит на прямой, проходящей через центры кругов. Выразите площадь перекрытия через $R$ и $s$.

[ihq.pl]

ihq.pl в сообщении #1639332 писал(а):

Выразите площадь перекрытия через $R$ и $s$.

Получается такое же выражение, как в квадратных скобках в (1), помноженное на $R^2$.

[ozheredov]

ihq.pl в сообщении #1639332 писал(а):

что-то не то

А с чем там траблы, если не секрет?

[svv]

ihq.pl в сообщении #1639351 писал(а):

Получается такое же выражение, как в квадратных скобках в (1), помноженное на $R^2$.

Прекрасно. Раз результат так напоминает (1), понятно, что никаких сложных вычислений уже не будет.

Следующая вспомогательная задача. Дан круг радиуса $R$ и направленный отрезок (если угодно, вектор) длины $s<2R$. Разрешается двигать этот отрезок внутри круга, но так, чтобы:
1) длина $s$ и направление $\varphi$ отрезка сохранялись;
2) отрезок не выходил за пределы круга.
На картинке показано несколько возможных положений отрезка. Начала отрезков отмечены жирными точками.

Какова площадь фигуры — геометрического места возможных начал отрезков?

[ihq.pl]

svv в сообщении #1639358 писал(а):

Какова площадь фигуры — геометрического места возможных начал отрезков?

Это то самое "перекрытие". Пока только интуитивно понятно, откуда берется множитель $s$ в (1). Попробую сам довести до ума, спасибо)

-- 16.05.2024, 23:58 --

ozheredov в сообщении #1639355 писал(а):

А с чем там траблы, если не секрет?

Может, что-то не понял. Мне показалось, Вы предлагаете рассматривать условную вероятность $\mathsf{P}(l\leqslant \delta | \xi_2\in L_r)$, где $L_r$ - окружность с центром в нуле. Пусть для простоты $\pi R^2=1$. Тогда

$$\mathsf{P}(l\leqslant \delta | \xi_2\in L_r) = \int_0^{2\pi}\left[\int\limits_{S\cap S_\delta(r,\varphi)}\rho d\rho d\theta\right]r d\varphi,$$

то есть проблема площади пересечения кругов не исчезает.

[ozheredov]

ihq.pl в сообщении #1639363 писал(а):

Тогда

$$\mathsf{P}(l\leqslant \delta | \xi_2\in L_r) = \int_0^{2\pi}\left[\int\limits_{S\cap S_\delta(r,\varphi)}\rho d\rho d\theta\right]r d\varphi,$$

то есть проблема площади пересечения кругов не исчезает

Если интегрировать вначале по углу, а потом только по $dr$, проблема тоже останется?

[ihq.pl]

ozheredov в сообщении #1639367 писал(а):

Если интегрировать вначале по углу, а потом только по $dr$, проблема тоже останется?

Нет, должно упроститься, точно) Спасибо)

[мат-ламер]

ihq.pl в сообщении #1639323 писал(а):

Задача на тему Условная вероятность

Почему бы на эту задачу не посмотреть как на задачу на тему "геометрические вероятности"?

[ihq.pl]

мат-ламер
Можно, но задача из раздела Условные матожидание и вероятность (=правила игры).

[svv]

ihq.pl, Вы, наверное, уже решили задачу тем способом, о котором говорил ozheredov. Можно мне тогда описать оставшееся звено в моём подходе, это ничему не помешает? Оно уже совершенно не геометрическое.

[ihq.pl]

svv в сообщении #1639505 писал(а):

Вы, наверное, уже решили задачу тем способом, о котором говорил ozheredov.

Если честно, нет. Но вряд-ли Ваш способ имеет к этому отношение. Опишите, интересно)

-- 18.05.2024, 01:58 --

Я проинтегрировал по $\frac{1}{2}sd\varphi$. Интересно как можно по-другому.