Задача на тему Условная вероятность

[svv]

Я немного изменю обозначения. Первая точка $\xi$ имеет декартовы координаты $(\xi_1,\xi_2)$, вторая точка $\eta$ — координаты $(\eta_1, \eta_2)$. То есть у меня индекс — это не номер точки, а номер координаты. И ещё я не различаю случайную величину и её значение.

Пусть $h$ — некоторая интегрируемая функция одной переменной. Запишем интеграл по четырёхмерной области $S\times S$:

$$I=\iint\limits_{\xi\in S}\frac {d\xi_1\;d\xi_2}{\pi R^2} \iint\limits_{\eta\in S}\frac {d\eta_1\;d\eta_2}{\pi R^2} \;h(|\xi-\eta|)\qquad(2)$$

С помощью замены $\eta_1=\xi_1+s_1,\;\eta_2=\xi_2+s_2$ перейдём от набора независимых переменных $(\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2)$ к набору $(s_1,s_2,\xi_1,\xi_2)$. Якобиан перехода равен $1$.
Теперь с помощью замены $s_1=s\cos\varphi,\;s_2=s\sin\varphi$ перейдём к набору $(s,\varphi, \xi_1, \xi_2)$. Здесь якобиан перехода равен $s$. Очевидно, $|\xi-\eta|=s$.

Интегралы по новым переменным можно расставить в произвольном порядке. Мне нужен такой:
$\int ds\int d\varphi\int d\xi_1\int d\xi_2$
От порядка зависят пределы интегрирования. В общем случае они в каждом интеграле определяются значениями предыдущих переменных интегрирования. У нас $0\leqslant s \leqslant 2R,\; -\pi\leqslant\varphi\leqslant\pi$. Область, которую пробегает точка $(\xi_1,\xi_2)$ при фиксированных $s,\varphi$, обозначим $A(s,\varphi)$. Она определяется условиями $\xi\in S,\;\eta\in S$. Это та самая область, о которой я спрашивал здесь.
С учётом всего этого

$$I=\frac 1{\pi^2 R^4}\int\limits_{0}^{2R}s\,h(s)\,ds\int\limits_{-\pi}^{\pi}d\varphi \iint\limits_{\xi\in A(s,\varphi)} d\xi_1\;d\xi_2$$

Внутренний двойной интеграл равен площади области $A(s,\varphi)$. Вы нашли, что эта площадь равна

$$R^2\left[2\arccos(s/2R) - \frac{s}{R}\sqrt{1-\frac{s^2}{(2R)^2}} \right]=\frac{\pi R^4}{2s}f_l(s)$$

Подставляем это вместо двойного интеграла, много чего сокращается, получаем

$$I=\int\limits_{0}^{2R}h(s)\,f_l(s)\,ds\qquad(3)$$

Остался один шаг, где надо использовать смысл интегралов (2), (3) и произвольность функции $h$.

[ihq.pl]

svv, спасибо)