Многоугольники, планиметрия

[sexako2585]

Дан выпуклый многооугольник с вершинами $A_1\ldots A_m,\quad m\ge 3$. Положим для удобства $A_{m+1}:=A_m$.
Действительные числа $\omega_1,\ldots,\omega_m$ таковы, что $\sum_{k=1}^m\omega_k\boldsymbol {A}_{k}\boldsymbol {A}_{k+1}=\boldsymbol 0$.
Доказать равенство

$$\sum_{k=1}^m\omega_k(|\boldsymbol {OA}_{k+1}|^2-|\boldsymbol {OA}_{k}|^2)= 0,$$

где $O$ -любая точка плоскости.

[worm2]

Цитата:

$\sum_{k=1}^m\omega_k\boldsymbol {A}_{k}\boldsymbol {A}_{k+1}=0$

Здесь $\boldsymbol {A}_{k}\boldsymbol {A}_{k+1}$ — это вектор, и справа ноль — это тоже нулевой вектор?

Потому что если понимать $\boldsymbol {A}_{k}\boldsymbol {A}_{k+1}$ как $|\boldsymbol {A}_{k}\boldsymbol {A}_{k+1}|$, то не получается.

[sexako2585]

исправил

[Null]

sexako2585 в сообщении #1639022 писал(а):

$A_{m+1}:=A_m$.

Тоже надо исправить?

[TOTAL]

Чем жирные буквы отличатся от нежирных?
Что такое "произведение" жирных букв?

[sexako2585]

Да, выше я действительно накосячил.
Жирными буквами обозначены векторы.

Правильная формулировка нового критерия вписанности выпуклого многоугольника $A_1,\ldots,A_m$ в окружность следующая. Положим $A_{m+1}:=A_1$.

Теорема.
Предположим, что если набор действительных чисел $\omega_1,\ldots,\omega_m$ удовлетворяет уравнению

$$\sum_{k=1}^m\omega_k\boldsymbol{A_kA_{k+1}}=0$$

то он удовлетворяет и уравнению

$$\sum_{k=1}^m\omega_k(|\boldsymbol{OA_{k+1}}|^2-|\boldsymbol{OA_{k}}|^2)=0,$$

где $O$ -- произвольная фиксированная точка плоскости.
Тогда многоугольник вписван в окружность. Верно и обратное.

Задача: доказать теорему.

[TOTAL]

sexako2585 в сообщении #1639752 писал(а):

Теорема.
Предположим, что если набор действительных чисел $\omega_1,\ldots,\omega_m$ удовлетворяет уравнению

$$\sum_{k=1}^m\omega_k\boldsymbol{A_kA_{k+1}}=0$$

то ...

Например, все коэффициенты, кроме подходящих $\omega_1, \omega_2, \omega_3$, полагаем нулевыми. Так что согласно "теореме" любой многоугольник будет вписанным?

[sexako2585]

Сформулирована теорема: если из A следует B, то верно C.

Вы говорите: <<у меня есть пример, когда A -- верно, а C -- нет>>. Хорошо, что у вас есть такой пример, только теорема тут при чем?

[TOTAL]

sexako2585 в сообщении #1639842 писал(а):

Вы говорите: <<у меня есть пример, когда A -- верно, а C -- нет>>. Хорошо, что у вас есть такой пример, только теорема тут при чем?

Для любого многоугольника существует набор коэффициентов, с которым выполняется условие нулевой суммы. Поэтому любой многоугольник является вписанным.

[sexako2585]

я слово <<существует>> не произносил

[bot]

sexako2585 в сообщении #1639846 писал(а):

я слово <<существует>> не произносил

sexako2585 в сообщении #1639022 писал(а):

Действительные числа $\omega_1,\ldots,\omega_m$ таковы, что $\sum_{k=1}^m\omega_k\boldsymbol {A}_{k}\boldsymbol {A}_{k+1}=\boldsymbol 0$

[TOTAL]

Поскольку исправленная формулировка в корне (а не только непонятными обозначениями) отличается от исходной формулировки, рискну предположить, что имелось в виду следующее.

Задача.
Пусть многоугольник таков, что для любого набора действительных чисел $\omega_1,\ldots,\omega_m$, удовлетворяющих равенству

$$\sum_{k=1}^m\omega_k\overrightarrow{A_kA_{k+1}}=0,$$

также верно равенство

$$\sum_{k=1}^m\omega_k(|\overrightarrow{OA_{k+1}}|^2-|\overrightarrow{OA_{k}}|^2)=0,$$

где $O$ -- произвольная фиксированная точка плоскости.
Доказать, что многоугольник вписан в окружность.

[drzewo]

sexako2585 в сообщении #1639752 писал(а):

Правильная формулировка нового критерия вписанности выпуклого многоугольника $A_1,\ldots,A_m$ в окружность следующая. Положим $A_{m+1}:=A_1$.

TOTAL в сообщении #1639878 писал(а):

Задача.
Пусть многоугольник таков, что для любого набора действительных чисел $\omega_1,\ldots,\omega_m$, удовлетворяющих равенству

$$\sum_{k=1}^m\omega_k\overrightarrow{A_kA_{k+1}}=0,$$

также верно равенство

$$\sum_{k=1}^m\omega_k(|\overrightarrow{OA_{k+1}}|^2-|\overrightarrow{OA_{k}}|^2)=0,$$

где $O$ -- произвольная фиксированная точка плоскости.
Доказать, что многоугольник вписан в окружность.

Пусть точка $O$ -- внутри многоугольника; стрелками обозначаем векторы плоскости в которой находится многоугольник

Введем линейный функционал $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ формулой

$$f(\omega)=\sum_{k=1}^m\omega_k(|\overrightarrow{OA}_{k+1}|^2-|\overrightarrow{OA}_{k}|^2), \quad \omega=(\omega_1,\ldots,\omega_m)^T;$$

и линейный оператор $B:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^2$ формулой

$$B\omega=\sum_{k=1}^m\omega_k\overrightarrow{A_kA_{k+1}}.$$

По условию, $\ker B\subset\ker f.$ Следовательно, существует вектор $\overrightarrow u$ такой, что

$$(\overrightarrow u,B\omega)=f(\omega),\quad \forall \omega\in \mathbb{R}^m.$$

Или, что то же самое,

$$|\overrightarrow{OA}_{k+1}|^2-|\overrightarrow{OA}_{k}|^2=(\overrightarrow u, \overrightarrow{A_kA_{k+1}}),\quad k=1,\ldots,m.$$

Или, что то же самое,

$$\Big(\overrightarrow{A_kA_{k+1}},\overrightarrow{OA}_{k}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A_kA_{k+1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow u\Big)=0.$$

Таким образом, срединные перпендикуляры к сторонам $A_kA_{k+1}$ пересекаются в точке $M$ с радиус-вектором

$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow u.$$

Обратное утверждение вытекает из уже написанных формул.