Доказать несчетность действительных чисел

[smorn]

Такая задача: при помощи теоремы Бэра о категориях доказать, что множество R действительных чисел - несчетно. Основная проблема у меня в том, что не совсем понятно куда тут применять теорему. Насколько я понимаю, надо показать, что действительные числа - пространство второй категории по Бэру.

Мои продвижения: Я хочу показать, что действительные числа это не пространство первой категории по Бэру, а значит оно второй категории. Предположим, что R - счетно. Тогда R можно представить в виде счетной совокупности нигде не плотных множеств. Рассмотрим в качестве таких множеств одноточечные множества (x1), (x2), ..., (xn), где каждый элемент это действительные числа, а их объединение даст нам множество R.

Хотелось бы узнать, верно ли вообще направление доказательства, ну и какие-то советы по доказательству в целом

[dgwuqtj]

Давайте вы сначала сформулируйте саму теорему Бэра о категориях.

[smorn]

Теорема Бэра - полное метрическое пространство является пространством второй категории.

Если метрическое пространство представимо в виде объединения счётной совокупности нигде не плотных множеств, то оно является пространством первой категории. Иначе - второй категории.

Плюс я довел до конца доказательство, но что-то я не до конца в нем уверен, хотелось бы услышать ваше мнение:
1) Мы знаем, что R - полное метрическое пространство, тогда по теореме Бэра оно является пространством второй категории.
2) Предположим противное: R - счётно. Тогда его можно представить в виде объединения одноточечных множеств: $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, где каждый элемент это действительные числа.
3) В прошлом пункте мы имеем объединение счетной совокупности множеств $x_n$. Тогда по определению пространств первой категории нам остается показать, что каждая из $x_n$ это нигде не плотное множество в R, но мы знаем, что R - пространство второй категории (из пункта 1). Значит, надо показать, что все эти множества всюду плотны в R, чтобы было выполнено условие пространства второй категории.
4) Каждое из xn это одноточечное множество, а оно является нигде не плотным в R, значит получилось, что множество R - пространство первой категории, чего не может быть, значит предположение неверно и тогда R - несчетно

[Ende]

Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы.(краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

[dgwuqtj]

smorn в сообщении #1639720 писал(а):

нам остается показать, что каждая из $x_n$ это нигде не плотное множество в R

И где вы это показали? Потому что без этого не получить, что $\mathbb R$ является множеством первой категории. Можно придумать кучу полных метрических пространств, являющихся счётными множествами.