Нормальные подгруппы, эпиморфизмы и изоморфизмы

[Ludi]

Пусть f∶ G1 ↠ G2 — сюръективный гомоморфизм групп. Покажите, что полный прообраз N1 = f^(-1)(N1) = N2 любой нормальной подгруппы N2 ◁ G2 является нормальной подгруппой в G1 и G1∕N1 ≃ G2∕N2.

С первой частью легко по свойствам гомоморфизма разобрался.

Далее вторая часть. f: G1∕N1 ↠ G2∕N2 -- эпиморфизм по условию и первой части задачи. Мне хочется доказать, что если существуют два неединичных элемента g1, g2 ∈ G1 таких, что f(g1)=f(g2), то g1, g2 ∉ G1/N1, из этого и последует изоморфизм G1∕N1 ≃ G2∕N2

Как я делаю сейчас: рассматриваю два элемента g1, g2 ∈ G1/N1 в предположении, что f(g1)=f(g2). Таким образом, все сочетания из g1 и g2 с нулевой суммой степеней дают единицу в G2, в частности коммутатор g1 и g2 -- единица в G2. И как из этого вывести, что g1, g2 ∉ G1/N1 -- понятия не имею. Подозреваю, что просто дума не в ту сторону.

Прошу подсказок...

[dgwuqtj]

У вас буквой $f$ уже обозначен гомоморфизм $G_1 \to G_2$, так что гомоморфизм $G_1 / N_1 \to G_2 / N_2$ лучше обозначить по-другому (скажем, через $f'$). Откуда этот гомоморфизм взялся и почему он сюръективный? Дальнейшее вообще непонятно, $G_1$ обычно не пересекается с $G_1 / N_1$.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.