многомерный интеграл

[mihiv]

makxsiq
Чтобы убедиться,что $K_n>0$ , достаточно показать,что $I_n=\int Q_n​P_n​dV_n​<0 $. Для этого сделаем в $I_n$ замену для всех переменных интегрирования с четными номерами:$x_{2k}\rightarrow -x_{2k}$. В результате получим :$I_n=-\int Q_n\prod _{k=2}^n(1+Q_k)^2dV_n \eqno (3)$, так как при этой замене все $Q_k$ меняют знак. Выразим все $Q_k$ в (3) через $x_i$ и произведем все возведения в квадрат и перемножения. Подынтегральное выражение после этого представляет собой сумму мономов, составленных из $x_i$ в различных степенях. Интеграл от каждого монома или равен 0 ,если один из $x_i$ входит в нечетной степени, или >0 ,если все $x_i$ в мономе в четной степени. Т.к. перед интегралом в (3) общий знак (-), то $I_n<0$.

[Combat Zone]

DeBill в сообщении #1730470 писал(а):

1. По плану RedHerring, откроем квадраты, и избавимся от всех "удвоенных произведений " - за счет нечетности.

Не избавимся. Вы, наверное, сумму не увидели под произведением.

Markiyan Hirnyk в сообщении #1631830 писал(а):

Результат Математики с отсчетом времени для $n=12$:

Конечно, долго, но его необязательно считать с помощью Математика, которая просто долго. То есть мало того что в символьном виде, само по себе долго.
Лучше уж сразу логарифмы.

makxsiq
А асимптотика нужна какая? Если логарифмическая это одно. Что именно вы хотите от асимптотики?

[makxsiq]

mihiv в сообщении #1737274 писал(а):

Чтобы убедиться,что $K_n>0$ , достаточно показать,что $I_n=\int Q_n​P_n​dV_n​<0 $. Для этого сделаем в $I_n$ замену для всех переменных интегрирования с четными номерами:$x_{2k}\rightarrow -x_{2k}$. В результате получим :$I_n=-\int Q_n\prod _{k=2}^n(1+Q_k)^2dV_n \eqno (3)$, так как при этой замене все $Q_k$ меняют знак. Выразим все $Q_k$ в (3) через $x_i$ и произведем все возведения в квадрат и перемножения. Подынтегральное выражение после этого представляет собой сумму мономов, составленных из $x_i$ в различных степенях. Интеграл от каждого монома или равен 0 ,если один из $x_i$ входит в нечетной степени, или >0 ,если все $x_i$ в мономе в четной степени. Т.к. перед интегралом в (3) общий знак (-), то $I_n<0$.

Понятно, спасибо.

Combat Zone в сообщении #1737291 писал(а):

А асимптотика нужна какая? Если логарифмическая это одно. Что именно вы хотите от асимптотики?

Вообще этот интеграл $S_n$ появился в процессе когда я искал асимптотику для размера границы, т.е. площади гиперповерхности, области устойчивости по Шуру. Эта основная задача была поставлена в этой статье, где также была найдена асимптотика для границы одного подмножества этой области.
Я в принципе увидел, когда мне показали расчеты на Мтематике, что с помощью $S_n$ хороших оценок для основной задачи имхо не получить

makxsiq в сообщении #1631819 писал(а):

Методом Монте-Карло что-то похожее получается. И предварительная оценка снизу $2^n n!$

Так что основную задачу я потом другим способом решил, так то.

[Combat Zone]

С помощью расчетов на математик для первых 12 членов асимптотическое поведение не выяснить.

makxsiq в сообщении #1737300 писал(а):

И предварительная оценка снизу $2^n n!$

Сверху, вы хотели сказать.
Если это все, что надо было, тогда ладно, так-то.