многомерный интеграл

[makxsiq]

Хотелось бы понять асимптотику интеграла $S_n$ при $n \to \infty$.
Может что-нибудь в есть литературе, типа интеграла Селберга?
Тривиальная оценка сверху дает $2^n(n!)^2$.

$$ S_n = \idotsint \limits_{\substack{x_1,...,x_n \\ \in [-1,1]}} \prod\limits_{k=1}^{n-1} \Bigl( 1-\sum\limits_{m=1}^{k}x_m \cdot x_{m+1} \Bigr)^2 dx_1...dx_n $$

[makxsiq]

В общем, никакого жития от курвы.

[mihiv]

Оценку можно слегка улучшить.
Произведение под интегралом не меняется при замене для всех $i, t_i\to -t_i$. Поэтому $\int \limits _{-1}^1f(t_1,\dots ,t_n)dt_1\dots dt_n=2\int \limits _0^1f(t_1,\dots ,t_n)\dots dt_1\dots dt_n$. Отсюда $S_n<2(n!)^2$.

[makxsiq]

Не совсем вас понял.
Интеграл

$$\idotsint \limits_{\substack{t_1,...,t_n \\ \in [-1,1]}}1 dt_1...dt_n$$

подходит под критерий?

[mihiv]

Да, ошибся, лучше не получается

[Евгений Машеров]

Какое-то смутное чувство, что тут некое "Монте-Карло" поможет. Рассматривая задачу, как нахождение матожидания функции от независимых равномерно распределённых иксов. К сожалению, величины под знаком произведения не независимы.

[Red_Herring]

Раскройте квадрат и все легко вычисляется

[Markiyan Hirnyk]

Red_Herring

Цитата:

Раскройте квадрат и все легко вычисляется

Да, действительно легко, ведь подинтегальная функция - многочлен. Только для $n=11$ Математика считает этот интеграл более 12 минут:

n = 11; Integrate[ Product[(1 - Sum[x[j]*x[j + 1], {j, 1, k}])^2, {k, 1, n - 1}], {x[
    1], -1, 1}, {x[2], -1, 1}, {x[3], -1, 1}, {x[4], -1,  1}, {x[5], -1, 1}, {x[6], -1, 1}, {x[7], -1, 1}, {x[8], -1, 
   1}, {x[9], -1, 1}, {x[10], -1, 1}, {x[11], -1, 1}] // Timing
{746.016, 98542400349736526511115598662635094016/441507020599556210126953125}

[makxsiq]

Методом Монте-Карло что-то похожее получается. И предварительная оценка снизу $2^n n!$. Это не муля.

[Markiyan Hirnyk]

Результат Математики с отсчетом времени для $n=12$:

{2290.55, 445086811262716378545513520477259023253504/36650516642324390747738671875}

и список ее результатов от 3 до 12:

{368/25,2686592/33075,1800892928/2480625,26004055148032/2701400625,98532548848651475968/559257464390625,21330812425013466656768/5033317179515625,38885808238013683382198272/300543112578515625,28273290069449585268585252855414784/5789458451939084187890625,98542400349736526511115598662635094016/441507020599556210126953125,445086811262716378545513520477259023253504/36650516642324390747738671875}

[makxsiq]

(Оффтоп)

makxsiq в сообщении #1631115 писал(а):

Может что-нибудь в есть литературе, типа интеграла Селберга
?

Кстати у кого-то там дошли руки перевести статью про интеграл Сельберга.
Имхо получилось даже лучше лучше чем статья в enwiki, потому что формула Мехты должна стоять по порядку на 4 месте ибо является и частным случаем формулы Сельберга, и частным случаем формулы Макдональда.

[DeBill]

НУ, писали же уже, что интеграл этот считается ТОЧНО. И асимптотика получается типа $(\frac{2(9+\sqrt{61})}{15})^n$ (с множителем, коий лень считать)...
Типа:
1. По плану RedHerring, откроем квадраты, и избавимся от всех "удвоенных произведений " - за счет нечетности.
2. Введем интегралы $S_n = $ и такой же $U_n$, но с доп.множителем $x_1^2$.
3. Интегрируя по $x_1$, получим рек. систему для них, с хар.уравнением $45t^2-108t+16=0$.
Это сразу дает нужную асимптотику (для точного вычисления - надо еще и константы найти)

[AlexBS]

Простая, но несколько грубая оценка сверху: $(4+n!\cdot 2)/3$.
Производишь замену знака у всех чётных переменных, все минусы под интегралом превратятся в плюсы.
Перемножаешь все многочлены, получаешь сумму мономов.
Моном даёт ненулевой интеграл, только если в нём степени всех переменных чётны.
Таких мономов (не считая единицу) не более чем $n!-1$, интеграл от каждого из них не более 2/3.
Ну и единица даст интеграл 2. Всё.

[mihiv]

По схеме, предложенной DeBill, свел вычисление к системе рекурр. соотношений. С той только разницей, что интегрирую не по $x_1$, а по $x_n$. Использую следующие обозначения:

$$P_n(x_1,\dots ,x_n)=\prod \limits _{k=2}^{n}(1-Q_k)^2\equiv P_n, Q_n=\sum \limits _{m=2}^nx_{m-1}x_m, Q_n=Q_{n-1}+x_{n-1}x_n, dV_n=dx_1\dots dx_n, S_n=\int P_ndV_n,$$$$ U_n=\int x_n^2P_ndV_n, K_n=\int (Q^2_n-2Q_n)P_ndV_n$$

В результате получается такая система соотношений:

$$\begin {cases}S_n=2S_{n-1}+\frac 23U_{n-1}+2K_{n-1}\\U_n=\frac 23S_{n-1}+\frac 25U_{n-1}+\frac 23K_{n-1}\end {cases}\eqno (1)$$

Можно показать, что $K_n>0$.Наряду с системой (1) рассмотрим систему

$$\begin {cases}\overline S_n=2\overline S_{n-1}+\frac 23\overline U_{n-1}\\\overline U_n=\frac 23\overline S_{n-1}+\frac 25\overline U_{n-1}\end {cases}\eqno (2)$$

. Система (2) получается из (1) отбрасыванием слагаемых с $K_{n-1}$ и имеет частные решения вида $\overline S_n=C_1a^n, \overline U_n=C_2a^n$, подставляя решения такого вида в (2) получим характеристическое уравнение , приведенное DeBill: $48а^2-108a+16=0$.
Если взять $\overline S_1=S_1, \overline U_1=U_1$, то поскольку $K_n>0$, то мы будем получать из системы (1) $S_n>\overline S_n, U_n>\overline U_n$ для всех $n>1$, но тогда, в принципе, возможна более быстро растущая асимптотика, чем $\left (\dfrac {2(9+\sqrt {61})}{15}\right )^n$

[makxsiq]

mihiv в сообщении #1737137 писал(а):

По схеме, предложенной DeBill

у меня тоже получилась рекурентная система (1), которая похоже соответствует ранее представленным расчетам

Markiyan Hirnyk в сообщении #1631830 писал(а):

и список ее результатов от 3 до 12

$$ \begin{tabular}{c|c|c|c} n & S_n & U_n & K_n \\ \hline 2 & 4.44 & 1.60 & 2.38 \\ 3 & 14.72 & 5.19 & 24.16 \\ 4 & 81.23 & 28.00 & 272.43 \\ 5 & 725.98 & 246.97 & 4004.76 \end{tabular} $$

Но мне не совсем очевидно, почему $K_n>0$ всегда.

Характеристическое уравнение усеченной системы (2) получилось таким же

$$ \lambda^2 - \dfrac{12}{5}\lambda + \dfrac{16}{45} = 0 $$

Кстати, одно из приложений интеграла Сельберга - работа с такими объектами, ссылка в фаерфоксе и при впн нормально открывается
https://www.math3d.org/ohopmyrXA
И что характерно, объем этой фигуры равен $16/45$.

makxsiq в сообщении #1730441 писал(а):

Кстати у кого-то там дошли руки перевести статью
про интеграл Сельберга.
Имхо получилось даже лучше лучше чем статья в enwiki, потому что формула Мехты должна стоять по порядку на 4 месте ибо является и частным случаем формулы Сельберга, и частным случаем формулы Макдональда.