Взаимно однозначное соответствие с [0, 1]

[gosetrov]

Условие: Укажите взаимно однозначное соответствие между множеством $[0,1] \cup [2,3] \cup [4,5] \cup ...$ и отрезком $ [0,1]$.

Решение:
1. Построим отображение следующим образом:
$[0, 1) \to [0, 1/2)$
$[2, 3) \to [1/2, 1/2 + 1/4)$
$[4, 5) \to [1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8)$ - т.е. каждому следующему полуинтревалу сопоставляем стягивающиеся полуинтервалы из $[0, 1]$(каждый полуинтервал сопоставляется линейной функцией)
...
Таким образом останутся без пары $1, 3, 5, 7, ...$ и $1$ из $[0, 1],$ давайте сопоставим $1 \to 1$, так что останется разобраться с $3, 5, 7, ...$
2. Тогда будем последовательно сопоставлять с дробями из стягивающихся отрезком $[0, 1/2], [1/2, 1/2 + 1/4]...$
$3, 5, 7, ... \to 1/3, 1/5, 1/7...$
$1/3, 1/5, 1/7... \to 1/3 * 1/2 + 1/2, 1/5 * 1/2 + 1/2, 1/7 * 1/2 + 1/2$
$1/3 * 1/2 + 1/2, 1/5 * 1/2 + 1/2, 1/7 * 1/2 + 1/2 \to 1/3 * 1/2 * 1/2 + 1/2 + 1/4, 1/5 * 1/2 * 1/2+ 1/2 + 1/4, 1/7 * 1/2 * 1/2 + 1/2 + 1/4$
...
Достаточно ли этого построения для решения задачи? Существует ли более простой способ задать это соответствие?

[mihaild]

Да, так можно. ИМХО проще доказать, что отрезок равномощен полуинтервалу (нужна похожая на Вашу конструкция, но чуть проще получится, т.к. всего одна точка), и что счетное объединение полуинтервалов равномощно полуинтервалу (совсем просто).

[gosetrov]

mihaild в сообщении #1627524 писал(а):

отрезок равномощен полуинтервалу

Покажем что $[0, 1] \sim [0, 1)$, очевидно $[0, 1) \sim [0, 1)$ и нужно разобраться с $1$, тогда $1 \to 1/2, 1/2 \to 1/4, ...$

mihaild в сообщении #1627524 писал(а):

ен полуинтервалу (нужна похожая на Вашу конструкция, но чуть проще получится, т.к. всего одна точка), и что счетное объединение полуинтервалов равномощно полуинтервалу (совсем просто).

Для этого можно переиспользовать конструкцию из номера 1 первого сообщения и получим, что $[0,1) \cup [2,3) \cup [4,5) \cup ... \sim [0,1)$(или можно как-то еще проще?)

Тогда можно показать аналогично $[0, 1] \sim [0, 1)$
$[2, 3] \sim [2, 3)$
$[4, 5] \sim [4, 5)$
...
Тогда $[0, 1] \sim [0, 1) \sim [0,1) \cup [2,3) \cup [4,5) \cup ... \sim [0,1] \cup [2,3] \cup [4,5] \cup ... $\Rightarrow [0, 1] \sim [0,1] \cup [2,3] \cup [4,5] \cup ...$, а чтобы получить искомую функцию нужно применить композицию функций(первой переводящей из отрезка в полуинтервал и потом второй "ужимающие" объединение в полуинтервал [0,1) и последней $f: [0, 1) $\to $ [0, 1]$) для каждого отрезка из объединения.

[mihaild]

Да, конструкция из 1 вполне хорошая. Ещё можно взять $f(x) = 1 - \frac{1}{x + 1}$, что сразу даст биекцию между $[0, +\infty) = \cup_n [n, n + 1)$ и $[0, 1)$. Но ИМХО в таких задачах поиск "более явного вида" биекции хотя иногда и может быть забавным, но не особо нужен.

[мат-ламер]

gosetrov в сообщении #1627533 писал(а):

Покажем что $[0, 1] \sim [0, 1)$, очевидно $[0, 1) \sim [0, 1)$ и нужно разобраться с $1$, тогда $1 \to 1/2, 1/2 \to 1/4, ...$

Ваше доказательство не понял, поскольку у вас стрелочки направлены в одну сторону (биекция подразумевает двустороннюю направленность). Предлагаю свою идею доказательства. Выделим на полуоткрытом интервале $[0,1)$ какое-то счётное множество $A$ . Его же отметим и на замкнутом интервале $[0,1]$. Предлагаю в качестве упражнения построить взаимно однозначное соответствие между счётными множествами $A$ и $A\cup \{1\}$ . В качестве второго упражнения продлите полученное соответствие на наши исходные множества.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1627569 писал(а):

gosetrov в сообщении #1627533 писал(а):

Покажем что $[0, 1] \sim [0, 1)$, очевидно $[0, 1) \sim [0, 1)$ и нужно разобраться с $1$, тогда $1 \to 1/2, 1/2 \to 1/4, ...$

Ваше доказательство не понял, поскольку у вас стрелочки направлены в одну сторону (биекция подразумевает двустороннюю направленность). Предлагаю свою идею доказательства. Выделим на полуоткрытом интервале $[0,1)$ какое-то счётное множество $A$ . Его же отметим и на замкнутом интервале $[0,1]$. Предлагаю в качестве упражнения построить взаимно однозначное соответствие между счётными множествами $A$ и $A\cup \{1\}$ . В качестве второго упражнения продлите полученное соответствие на наши исходные множества.

Сейчас дошло, что я имел в виду то же самое, что и вы. То есть сначала устанавливается биекция между множествами $\{1,1/2,1/4,...\}$ и $\{1/2,1/4,1/8,...\}$ .