2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Взаимно однозначное соответствие с [0, 1]
Сообщение30.01.2024, 13:21 
Условие: Укажите взаимно однозначное соответствие между множеством $[0,1] \cup [2,3]  \cup [4,5] \cup ...$ и отрезком $ [0,1]$.

Решение:
1. Построим отображение следующим образом:
$[0, 1)  \to [0, 1/2)$
$[2, 3)  \to [1/2, 1/2 + 1/4)$
$[4, 5)  \to [1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8)$ - т.е. каждому следующему полуинтревалу сопоставляем стягивающиеся полуинтервалы из $[0, 1]$(каждый полуинтервал сопоставляется линейной функцией)
...
Таким образом останутся без пары $1, 3, 5, 7, ...$ и $1$ из $[0, 1],$ давайте сопоставим $1 \to 1$, так что останется разобраться с $3, 5, 7, ...$
2. Тогда будем последовательно сопоставлять с дробями из стягивающихся отрезком $[0, 1/2], [1/2, 1/2 + 1/4]...$
$3, 5, 7, ... \to 1/3, 1/5, 1/7...$
$1/3, 1/5, 1/7... \to 1/3 * 1/2 + 1/2, 1/5 * 1/2 + 1/2,  1/7 * 1/2 + 1/2$
$1/3 * 1/2 + 1/2, 1/5 * 1/2 + 1/2,  1/7 * 1/2 + 1/2 \to 1/3 * 1/2 * 1/2 + 1/2 + 1/4, 1/5 * 1/2 * 1/2+ 1/2 + 1/4,  1/7 * 1/2 * 1/2 + 1/2 + 1/4$
...
Достаточно ли этого построения для решения задачи? Существует ли более простой способ задать это соответствие?

 
 
 
 Re: Взаимно однозначное соответствие с [0, 1]
Сообщение30.01.2024, 13:39 
Аватара пользователя
Да, так можно. ИМХО проще доказать, что отрезок равномощен полуинтервалу (нужна похожая на Вашу конструкция, но чуть проще получится, т.к. всего одна точка), и что счетное объединение полуинтервалов равномощно полуинтервалу (совсем просто).

 
 
 
 Re: Взаимно однозначное соответствие с [0, 1]
Сообщение30.01.2024, 14:43 
mihaild в сообщении #1627524 писал(а):
отрезок равномощен полуинтервалу

Покажем что $[0, 1] \sim [0, 1)$, очевидно $[0, 1) \sim [0, 1)$ и нужно разобраться с $1$, тогда $1 \to 1/2, 1/2 \to 1/4, ...$

mihaild в сообщении #1627524 писал(а):
ен полуинтервалу (нужна похожая на Вашу конструкция, но чуть проще получится, т.к. всего одна точка), и что счетное объединение полуинтервалов равномощно полуинтервалу (совсем просто).


Для этого можно переиспользовать конструкцию из номера 1 первого сообщения и получим, что $[0,1) \cup [2,3)  \cup [4,5) \cup ... \sim [0,1)$(или можно как-то еще проще?)

Тогда можно показать аналогично $[0, 1] \sim [0, 1)$
$[2, 3] \sim [2, 3)$
$[4, 5] \sim [4, 5)$
...
Тогда $[0, 1] \sim [0, 1) \sim [0,1) \cup [2,3)  \cup [4,5) \cup ... \sim  [0,1] \cup [2,3]  \cup [4,5] \cup ... $\Rightarrow  [0, 1] \sim [0,1] \cup [2,3]  \cup [4,5] \cup ...$, а чтобы получить искомую функцию нужно применить композицию функций(первой переводящей из отрезка в полуинтервал и потом второй "ужимающие" объединение в полуинтервал [0,1) и последней $f: [0, 1) $\to $ [0, 1]$) для каждого отрезка из объединения.

 
 
 
 Re: Взаимно однозначное соответствие с [0, 1]
Сообщение30.01.2024, 14:48 
Аватара пользователя
Да, конструкция из 1 вполне хорошая. Ещё можно взять $f(x) = 1 - \frac{1}{x + 1}$, что сразу даст биекцию между $[0, +\infty) = \cup_n [n, n + 1)$ и $[0, 1)$. Но ИМХО в таких задачах поиск "более явного вида" биекции хотя иногда и может быть забавным, но не особо нужен.

 
 
 
 Re: Взаимно однозначное соответствие с [0, 1]
Сообщение30.01.2024, 18:03 
Аватара пользователя
gosetrov в сообщении #1627533 писал(а):
Покажем что $[0, 1] \sim [0, 1)$, очевидно $[0, 1) \sim [0, 1)$ и нужно разобраться с $1$, тогда $1 \to 1/2, 1/2 \to 1/4, ...$

Ваше доказательство не понял, поскольку у вас стрелочки направлены в одну сторону (биекция подразумевает двустороннюю направленность). Предлагаю свою идею доказательства. Выделим на полуоткрытом интервале $[0,1)$ какое-то счётное множество $A$ . Его же отметим и на замкнутом интервале $[0,1]$. Предлагаю в качестве упражнения построить взаимно однозначное соответствие между счётными множествами $A$ и $A\cup \{1\}$ . В качестве второго упражнения продлите полученное соответствие на наши исходные множества.

 
 
 
 Re: Взаимно однозначное соответствие с [0, 1]
Сообщение30.01.2024, 22:36 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #1627569 писал(а):
gosetrov в сообщении #1627533 писал(а):
Покажем что $[0, 1] \sim [0, 1)$, очевидно $[0, 1) \sim [0, 1)$ и нужно разобраться с $1$, тогда $1 \to 1/2, 1/2 \to 1/4, ...$

Ваше доказательство не понял, поскольку у вас стрелочки направлены в одну сторону (биекция подразумевает двустороннюю направленность). Предлагаю свою идею доказательства. Выделим на полуоткрытом интервале $[0,1)$ какое-то счётное множество $A$ . Его же отметим и на замкнутом интервале $[0,1]$. Предлагаю в качестве упражнения построить взаимно однозначное соответствие между счётными множествами $A$ и $A\cup \{1\}$ . В качестве второго упражнения продлите полученное соответствие на наши исходные множества.

Сейчас дошло, что я имел в виду то же самое, что и вы. То есть сначала устанавливается биекция между множествами $\{1,1/2,1/4,...\}$ и $\{1/2,1/4,1/8,...\}$ .

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group