Подобрать мультипликативную функцию

[vicvolf]

Помогите подобрать мультипликативную арифметическую функцию $u(n)$, удовлетворяющую требованию:

$u(p^n)=1+O(1/p^{1+\epsilon}), n \to \infty$, где $p$- произвольное простое число, $\epsilon}>0$.

Я смог найти только тривиальную функцию $u(n)=1$ или отличную от нее на конечном числе точек $u(p^n)=1/p^n, n \leq k, u(p^n)=1, n > k$ и далее по мультипликативности.

[dgwuqtj]

А в чём проблема? Вы же можете взять вообще произвольные $u(p^n)$.

[vicvolf]

dgwuqtj в сообщении #1626709 писал(а):

А в чём проблема? Вы же можете взять вообще произвольные $u(p^n)$.

На конечном множестве значений последовательности $\{p^n\}$ в качестве $u(p^n)$ можно взять любые мультипликативные функции, но на остальных значениях последовательности значения у меня получаются только тривиальные $u(p^n)=1$. А хотелось бы иметь пример с нетривиальными значениями. Например, $u(p^n)=1-1/p^{2n}$. Беда в том, что в этом случае $u$ не является мультипликативной.

[dgwuqtj]

vicvolf в сообщении #1626750 писал(а):

Беда в том, что в этом случае $u$ не является мультипликативной.

Приведите определение мультипликативной функции.

[vicvolf]

Может быть я сбил с толку обозначением степени,исправлю

vicvolf в сообщении #1626671 писал(а):

Помогите подобрать мультипликативную арифметическую функцию $u(n)$, удовлетворяющую требованию:
$u(p^m)=1+O(1/p^{1+\epsilon}), m \to \infty$, где $p$- произвольное простое число, $\epsilon}>0$.

Я ищу именно мультипликативную арифметичесую функцию натурального аргумента $u(n)$, а функция $u(n)=1-1/n^2$ не является мультипликативной.
Наверно надо пояснить.
Используется известное утверждение о сходимости ряда для мультипликативной арифметической функции $f(n)$:
$\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}=\prod_p (1+\sum_{m=1}^{\infty}{f(p^m}))$, где $f(n)=u*\mu(n)$.

Как известно для справедливости этого равенства требуется абсолютная сходимость ряда слева.
Достаточным условием данной сходимости является условие:
$\sum_{m=1}^{\infty}{u*\mu(p^m)}=\sum_{m=1}^{\infty}(u(p^m)-u(p^{m-1}))=O(1/p^{1+\epsilon})$.

Отсюда вытекает, указанное выше условие.

[vicvolf]

Нашел нетривиальные решения. Интересным методом - Свертки Дирихле. Может кто-то попробует? Приведу решение немного позже.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1626788 писал(а):

$u(p^m)=1+O(1/p^{1+\epsilon}), m \to \infty$

Справа же нет зависимости от $m$, поэтому справа просто $O(1)$.
И в любом случае, поскольку Вы спрашиваете только про значения на степенях простых чисел, то можно без всяких сверток взять произвольные значения на аргументах такого вида. Только продолжить надо правильно,

vicvolf в сообщении #1626750 писал(а):

, $u(p^n)=1-1/p^{2n}$

продолжается до $u(p_1^{n_1} p_2^{n_2} \ldots p_k^{n_k}) = (1 - 1/p_1^{2n_1})\cdot (1 - 1/p_2^{2n_2})\cdot \ldots\cdot (1 - 1/p_k^{2n_k})$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1627111 писал(а):

И в любом случае, поскольку Вы спрашиваете только про значения на степенях простых чисел

Меня интересует $u(n)$ не только на степенях простых чисел.
Действительная, мультипликативная арифметическая функция $u(n)$ должна также удовлетворять левой части равенства:
$\sum_{n=1}^{\infty}{u*\mu(n)}=\prod_p (1+\sum_{m=1}^{\infty}{u*\mu(p^m}))$
в случае абсолютной сходимости ряда слева. А мы рассматриваем, как раз достаточное условие такой сходимости.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1627126 писал(а):

Меня интересует $u(n)$ не только на степенях простых чисел

Тогда напишите условие полностью. Потому что в стартовом посте про значения на других числах ни слова.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1627132 писал(а):

Тогда напишите условие полностью. Потому что в стартовом посте про значения на других числах ни слова.

Известно следующее утверждение.
Пусть $f$ - мультипликативная арифметическая функция, для которой выполняется условие:
$\sum_{n=1}^{\infty} |f(n)| < \infty$, (1)

тогда справедливо:
$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)=\prod_p (1+\sum_{k=1}^{\infty}f(p^k))$. (2)

Можно показать, что из условия:
$\sum_{k=1}^{\infty}|f(p^k)|=O(1/p^{1+\epsilon})$. (3)

следует (1), а из (1) естественно следует (2).

Если согласны, то пойдем дальше.

[mihaild]

А сразу вопрос написать можете?
Утверждения Ваши я детально не проверял, но вроде бы правдоподобно.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1627158 писал(а):

Утверждения Ваши я детально не проверял, но вроде бы правдоподобно.

Теперь пусть $f(n)=u*\mu(n)$, где $u(n)$ - действительная мультипликативная арифметическая функция.

Тогда, на основании (1),(2),(3), из выполнения условия:
$\sum_{k=1}^{\infty} |u*\mu(p^k)|=\sum_{k=1}^{\infty} |u(p^k)-u(p^{k-1})|=O(1/p^{1+\epsilon})$ (4)

следует $\sum_{n=1}^{\infty}|u*\mu(n)| < \infty$, (5)

а из (5) следует:
$\sum_{n=1}^{\infty} u*\mu(n)= \prod_p (1+\sum_{k=1}^{\infty} (u(p^k)-u(p^{k-1})))$. (6)

Согласны?

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1627162 писал(а):

$\sum_{k=1}^{\infty} |u*\mu(p^k)|=\sum_{k=1}^{\infty} |u(p^k)-u(p^{k-1})|$

Вот это мне совсем не очевидно.

И я еще раз прошу - сформулируйте вопрос. Пока не будет заявки, к чему это всё ведет, дальше отвечать не буду. Если хотите, чтобы проверили Ваше рассуждения - так и напишите, и напишите хотя бы, что доказываете.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1627165 писал(а):

vicvolf в сообщении #1627162 писал(а):

$\sum_{k=1}^{\infty} |u*\mu(p^k)|=\sum_{k=1}^{\infty} |u(p^k)-u(p^{k-1})|$

Вот это мне совсем не очевидно.

Вот здесь дан вывод- формула (5).

vicvolf в сообщении #1612946 писал(а):

Известна формула для Свертки Дирихле:
$f*g(n)=\sum_{d/n}{f(d)g(n/d)$. (1)

На основании (1) для мультипликативных арифметических функций $f,g$ для произвольного простого $p$ имеем:
$f*g(p)=f(1)g(p)+f(p)g(1)=g(p)+f(p)$.(2)

На основании (2) получаем Обращение Мебиуса для мультипликативной арифметической функции $f$ для произвольного простого $p$:
$f*\mu(p)=f(p)-1$.(3)

На основании (1) для мультипликативных арифметических функций $f,g$ для произвольного простого $p$ имеем:
$f*g(p^n)=f(1)g(p^n)+f(p)g(p^{n-1})+...+f(p^n)g(1)$$=g(p^n)+f(p)g(p^{n-1})+...+f(p^n)$. (4)

На основании (4) получаем Обращение Мебиуса для мультипликативной арифметической функции $f$ для произвольного простого $p$:
$f*\mu(p^n)=f(p^n)-f(p^{n-1})$. (5)

При $n=p^{a_1}...p^{a_k}$ для мультипликативных арифметических функций $f,g$ на основании (4) имеем:
$f*g(p^{a_1}...p^{a_k})=\prod_{i=1}^k{(g(p^{a_i})+f(p)g(p^{a_i-1})+...+f(p^{a_i}))}$.(6)

При $n=p^{a_1}...p^{a_k}$ на основании (5) получаем Обращение Мебиуса для мультипликативной арифметической функции $f$:
$f*\mu(p^{a_1}...p^{a_k})=\prod_{i=1}^k{(f(p^{a_i})-f(p^{a_i-1}))}$.(7)

-- 26.01.2024, 22:13 --

mihaild в сообщении #1627165 писал(а):

И я еще раз прошу - сформулируйте вопрос. Пока не будет заявки, к чему это всё ведет, дальше отвечать не буду. Если хотите, чтобы проверили Ваше рассуждения - так и напишите, и напишите хотя бы, что доказываете.

У меня пока не получается сформулировать вопрос, чтобы меня поняли. Мы сейчас к этому подойдем. Пожалуйста, немного терпения.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1627162 писал(а):

Теперь пусть $f(n)=u*\mu(n)$, где $u(n)$ - действительная мультипликативная арифметическая функция.

Тогда, на основании (1),(2),(3), из выполнения условия:
$\sum_{k=1}^{\infty} |u*\mu(p^k)|=\sum_{k=1}^{\infty} |u(p^k)-u(p^{k-1})|=O(1/p^{1+\epsilon})$ (4)

следует $\sum_{n=1}^{\infty}|u*\mu(n)| < \infty$, (5)

а из (5) следует:
$\sum_{n=1}^{\infty} u*\mu(n)= \prod_p (1+\sum_{k=1}^{\infty} (u(p^k)-u(p^{k-1})))$. (6)

Раскроем частичную сумму в (4) при условии $u(p^k) \geq u(p^{k-1})$ и получим:
$\sum_{k=1}^{m} |u(p^k)-u(p^{k-1})|$$=u(p)-1+u(p^2)-u(p)+...+u(p^m)-u(p^{m-1})=u(p^m)-1$. (7)

Раскроем частичную сумму в (4) при условии $u(p^k) < u(p^{k-1})$ и получим:
$\sum_{k=1}^{m} |u(p^k)-u(p^{k-1})|$$=1-u(p)1+u(p)-u(p^2)+...+u(p^{m-1})-u(p^m)=1-u(p^m)$. (8)

На основании (7), (8) условие (4) можно записать в в виде:
$u(p^m)=1+O(1/p^{1+\epsilon})$ при $m \to \infty$. (9)

mihaild в сообщении #1627165 писал(а):

Если хотите, чтобы проверили Ваше рассуждения - так и напишите, и напишите хотя бы, что доказываете.

Таким образом, из выполнении условия (9) следует (5), а из (5) следует (6).

mihaild в сообщении #1627165 писал(а):

И я еще раз прошу - сформулируйте вопрос.

Первый вопрос. Верно ли последнее утверждение? Если нет, то где ошибка?