Равномерная непрерывность

[dragonfly132]

M = (0, $\infty$), f(x) = \log(x). Докажите равномерную непрерывность функции.
Насколько я понимаю нам нужно найти такую $\delta$($\varepsilon$), что выполняется условие: |x - y| < $\delta$ $\Rightarrow$ |f(x) - f(y)| < $\varepsilon$?
|\log(x) - \log(y)| = |\log(x/y)|, но пока никак не получается связать $\dfrac{x}{y}$ и $|x - y|$, так что прошу вашей помощи.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Mikhail_K]

dragonfly132 в сообщении #1626099 писал(а):

M = (0, $\infty$), f(x) = \log(x). Докажите равномерную непрерывность функции.

Что, так и написано?
Очень странно, потому что указанная функция не является равномерно непрерывной на данном промежутке.

P.S. Доллары не надо ставить внутри формул (например, вокруг отдельных символов), достаточно одного доллара слева всей формулы и одного доллара справа. Тэг math вручную писать не надо, достаточно только долларов.

[dragonfly132]

Прошу прощенния, в задании нужно проверить функцию на равномерную непрерывность. Как в таком случае можно доказать, что она не равномерно непрерывна?

[Null]

dragonfly132 в сообщении #1626176 писал(а):

Как в таком случае можно доказать, что она не равномерно непрерывна?

Вы можете записать отрицание равномерной непрерывности(с кванторами $\forall,\exists$)?

[dragonfly132]

Я бы сказал
$\exists$$\varepsilon$ $\forall$$\delta$ |x-y| < $\delta$ $\Rightarrow$ |f(x)-f(y)| $\geqslant$ $\varepsilon$

[Dedekind]

dragonfly132
Там еще какой-то квантор для $x$ и $y$ пропущен.

[dragonfly132]

Полностью будет, насколько вижу, так, но мы и так анализируем на всей области определения логарифма
$\exists$$\varepsilon$ $\forall$$\delta$ $\forall$x,y$\in$M |x-y| < $\delta$ $\Rightarrow$ |f(x)-f(y)| $\geqslant$ $\varepsilon$

[Dedekind]

dragonfly132
Неверно. $\forall$ - это как раз в определении равномерной непрерывности. А в отрицании будет $\exists$. Кроме того, неправильно сделали отрицание импликации.
То есть, для проверки на отсутствие равномерной непрерывности, для любого $\delta>0$ нужно указать конкретные две точки $x$ и $y$ (вообще говоря, зависящих от $\delta$), в которых найдется такой $\varepsilon$, что $|x-y| < \delta$ и при этом $|f(x)-f(y)| \geqslant\varepsilon$

[Mikhail_K]

dragonfly132 в сообщении #1626210 писал(а):

Я бы сказал
$\exists[math]$$\varepsilon$ $\forall$$\delta$ |x-y| < $\delta$ $\Rightarrow$ |f(x)-f(y)| $\geqslant$ $\varepsilon$[/math]

Продолжаете ставить доллары внутри формул (и из-за этого Ваши формулы не цитируются корректно). Не надо так. Сравните с формулами, которые я напишу ниже. Чтобы понять, как они были написаны, наведите на них курсор мыши. Рекомендуется писать код каждой формулы от руки, а не пользоваться LaTeX-помощником.

При составлении отрицаний пользуйтесь следующими правилами.
${\textrm{НЕ}}\,(\forall x\in M,\,P(x))=\exists x\in M:\,{\textrm{НЕ}}\,P(x)$
${\textrm{НЕ}}\,(\exists x\in M:\,P(x))=\forall x\in M,\,{\textrm{НЕ}}\,P(x)$
$A\to B\,=\,B\,{\textrm{ИЛИ НЕ}}\,A$
${\textrm{НЕ}}\,(A\,{\textrm{ИЛИ}}\,B)={\textrm{НЕ}}\,A\,{\textrm{И НЕ}}\,B$

[dragonfly132]

Прошу прощения за неудобства. По итогу я ищу:
$\exists\varepsilon\,\forall\delta\,\exists x,\,y \in M: |x-y| < \delta \,\textrm{И}\,|f(x) - f(y)|\,\geqslant\,\varepsilon$
Я все еще не могу найти контрпример. Я рассматриваю $\lim\limits_{\delta}^{0}|x-y|=0\Rightarrow\frac{x}{y}\to1\Rightarrow\log(x/y)\to0$ И тогда как будто при достаточно маленькой $\delta$ всегда будет верно $|f(x) - f(y)|\,<\,\varepsilon$

[mihaild]

dragonfly132 в сообщении #1626233 писал(а):

Я рассматриваю $\lim\limits_{\delta}^{0}|x-y|=0\Rightarrow\frac{x}{y}\to1$

Вот это неправда. Найдите такие $x$ и $y$, что $|x - y| < \frac{1}{100}$, но $\frac{x}{y} > 42$.

[Dedekind]

dragonfly132
И откуда вдруг взялись пределы? В определении про них ни слова, они тут не нужны.

[dragonfly132]

Нашел ответ: взять $x = \delta + \delta / 2,\, y = \delta $, тогда выбираем какой-нибудь $\varepsilon$ меньше 1, и всё работает