Ассоциированные и простые элементы кольца.

[StepV]

Ende
Название темы изменено по просьбе ТС.

Требуется найти ассоциированные и простые элементы кольца $Z_{30}$.
Уважаемые форумчане. Есть ли какой-то алгоритм поиска таких чисел? Очень не хочется делать все многократным перебором и сравнением всех элементов.

[dgwuqtj]

Можете для начала написать определения ассоциативных и простых элементов. Особенно про ассоциативные интересует, впервые про них слышу.

[StepV]

dgwuqtj в сообщении #1625766 писал(а):

Можете для начала написать определения ассоциативных и простых элементов.

Винберг стр 116
Определение 4. Необратимый ненулевой элемент $p$ целостного кольца называется простым, если он не может быть представлен в виде $p=ab$, где $a$ и $b$ —необратимые элементы.
Винберг стр 114
Элементы $a$ и $b$ целостного кольца называются ассоциированными (обозначение: $ a \sim b$, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
1) $ b | a $ и $ a | b $
2) $a=cb$, где $c$ —обратимый элемент.

Спасибо за вопрос. Очень полезно регулярно обновлять в памяти определения . $Z_{30}$ - нецелостное кольцо. Вроде бы все по определению ясно. Но у меня уже $3$ - получился ассоциированным элементом. Может не точно проверял. Объем большой. Выход, либо в лоб писать программу проверки, либо какой-то алгоритм на свойствах чисел.
Интересно, есть такой?

[mathematician123]

StepV в сообщении #1625774 писал(а):

Но у меня уже $3$ - получился ассоциированным элементом.

Ассоциированным с кем? Отношение ассоциированности определено для пары элементов, а не для одного.

[StepV]

mathematician123 в сообщении #1625779 писал(а):

Ассоциированным с кем?

Обратимые элементы кольца:$1;7;11;13;17;19;23;29$

Ассоциированность: $3=9 \cdot 7=3 \cdot 11 =21 \cdot 13=9 \cdot 17 = 27 \cdot 19= 21 \cdot 23= 27 \cdot 29$

т.е. элемент $3$ ассоциирован с: $3;9;21;27$

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1625774 писал(а):

ненулевой элемент $p$ целостного кольца

StepV в сообщении #1625760 писал(а):

Требуется найти ассоциированные и простые элементы кольца $Z_{30}$

а с каких пор кольцо $Z_{30}$ является областью целосности.

-- Сб янв 13, 2024 22:19:39 --

StepV в сообщении #1625791 писал(а):

Обратимые элементы кольца:$1;7;11;13;17;19;23;29$

а 5 куда делось

[Drimacus]

pppppppo_98 в сообщении #1625807 писал(а):

StepV в сообщении #1625774 писал(а):

ненулевой элемент $p$ целостного кольца

StepV в сообщении #1625760 писал(а):

Требуется найти ассоциированные и простые элементы кольца $Z_{30}$

а с каких пор кольцо $Z_{30}$ является областью целосности.

-- Сб янв 13, 2024 22:19:39 --

StepV в сообщении #1625791 писал(а):

Обратимые элементы кольца:$1;7;11;13;17;19;23;29$

а 5 куда делось

Так 5 же необратимо в $\mathbb{Z}_{30}$.

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1625774 писал(а):

Но у меня уже $3$ - получился ассоциированным элементом

я не знаю что вы там считаете, да еще с огромными обьемами 3=27*9, иивообще любой элемент можно представить в виде произаедения других- есть китайская теорема об остатках для первоначально решения, а затем ищите другие сравнимые по модулю решениея с составными числами

-- Сб янв 13, 2024 22:34:21 --

Drimacus в сообщении #1625810 писал(а):

Так 5 же необратимо в $\mathbb{Z}_{30}$.

Да тупанул. да дело даже не в этом... сама постановка ощибочная.. кольца $Z_n$ - либо поля , либо кольца с делителями нуля

[Drimacus]

pppppppo_98 в сообщении #1625811 писал(а):

кольца $Z_n$ - либо поля , либо кольца с делителями нуля

Ну, это да, областями целостности они являются только если они поля, иначе всегда будут делители ноля.

[StepV]

Drimacus в сообщении #1625812 писал(а):

Ну, это да, областями целостности они являются только если они поля, иначе всегда будут делители ноля.

pppppppo_98 в сообщении #1625811 писал(а):

есть китайская теорема об остатках для первоначально решения, а затем ищите другие сравнимые по модулю решениея с составными числами

Прошу вас прекратить спамить в моей теме. О том, что $Z_{30}$ не целостное кольцо мной написано в постах выше. Мной задан конкретный вопрос, на который я хочу получить ответ.

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1625814 писал(а):

Мной задан конкретный вопрос, на который я хочу получить ответ.

какой ... найди то ,не знаю что.

я вас еще раз процитирую

StepV в сообщении #1625760 писал(а):

Требуется найти ассоциированные и простые элементы кольца $Z_{30}$.

StepV в сообщении #1625774 писал(а):

Определение 4. Необратимый ненулевой элемент $p$ целостного кольца называется простым, если он не может быть представлен в виде $p=ab$, где $a$ и $b$ —необратимые элементы.

[StepV]

pppppppo_98 в сообщении #1625817 писал(а):

я вас еще раз процитирую

Вопрос в том и состоит, что существуют ли ассоциированные и простые элементы у нецелостного кольца в соответствии с этими определениями, если из них изымается слово целостный. Если да, то интересна их взаимосвязь.
Нужна математическая сущность явления, а не ваши ссылки на определения. Для числа $3$ выше в другом посте перечислены ассоциированные элементы в соответствии с определениями или здесь ошибка?

[iifat]

StepV в сообщении #1625791 писал(а):

Обратимые элементы кольца:$1;7;11;13;17;19;23;29$

Ну, по первому вопросу вполне можно более-менее просто ответить: обратимыми будут числа, взаимно простые с 30. Поскольку 30 делится на 2, 3, 5, вычёркиваем то, что делится на эти простые числа.

(Оффтоп)

StepV в сообщении #1625814 писал(а):

Прошу вас прекратить спамить в моей теме

Вы, простите, неверно понимаете ситуацию. Вы на форуме. Это не ваша тема. Это тема, начатая вами, да, что не даёт вам никаких на неё прав. Это наша тема ;)

[pppppppo_98]

вам в помощь https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%B5%D0%BB)

[iifat]

StepV в сообщении #1625820 писал(а):

Вопрос в том и состоит, что существуют ли ассоциированные

Не существует ассоциированных чисел. Если вас интересуют ассоциированные пары чисел, разумно было бы так и спросить. Ну просто чтоб вопрос был вопросом, а не бессмысленным набором слов.