Задача на геометрическую вероятность

[Laguna]

Здравствуйте, возникла проблема при решении следующей задачи : "В мишень, которая представляет собой прямоугольник размера 3x2, стре-ляют из пистолета. Известно, что отклонение пули от точки, на которую нацелен пистолет произвольно, но не превышает 1/4 по любому координатному направлению (они параллельны сторонам прямоугольника). Стрелок целится в произвольную точку мишени. С какой вероятностью он попадет в мишень?"
Пробовал разбить прямоугольник на фигуры поменьше и посчитать отдельно вероятность там, однако возникают затруднения при подсчёте вероятности попадания в краевых участках прямоугольника. Подробного решения в интернете не нашел, хотел бы разобраться с этой задачей

[svv]

В задаче не хватает функции — плотности распределения отклонения точки попадания от точки, в которую стрелок целился.

Laguna в сообщении #1623043 писал(а):

не превышает 1/4 по любому координатному направлению

Этой информации недостаточно. Если стрелок всегда попадает, куда целился, отклонение тоже не превышает $1/4$.

[sergey zhukov]

Я думаю, условие задачи значит, что пуля равновероятно может оказаться в любой точке "прямоугольника отклонения".

[Laguna]

svv в сообщении #1623051 писал(а):

В задаче не хватает функции — плотности распределения отклонения точки попадания от точки, в которую стрелок целился.

Laguna в сообщении #1623043 писал(а):

не превышает 1/4 по любому координатному направлению

Этой информации недостаточно. Если стрелок всегда попадает, куда целился, отклонение тоже не превышает $1/4$.

В данной задаче подразумевается, что сначала случайно выбирается точка прицеливания внутри прямоугольника, а затем рассматривается квадрат со сторонами 0.5, в центре которого находится уже выбранная точка прицеливания, и пуля попасть может в любую точку этого квадрата, однако может получиться так, что пуля не попадет в исходный прямоугольник 3х2. К примеру, пусть мы целимся в точку прямоугольника с координатой (2,3), но тогда отклонение допускает, что может произойти так, что пуля попадёт в точку с координатой (9\4,3),а эта точка уже не находится в прямоугольнике - промах по мишени.

[svv]

То, что Вы сказали, понятно, но я спрашиваю о другом. Предположим, что стрелок всегда целится в точку (0,0). Стреляет 1000 раз.

Во всех трёх вариантах пуля случайно попадает в некоторую точку квадрата $0.5\times 0.5$. Чем эти варианты различаются? Законом распределения. Задайте закон распределения.

sergey zhukov предполагает, что распределение равномерное (левая картинка). Случай простой для вычисления, но не очень реалистичный. Берёте?

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1623043 писал(а):

Задача на геометрическую вероятность

Бывает, что в курсах ТВ (см.,например, Гнеденко, пар.4) задачи на геометрические вероятности вводятся ещё до того, как вводятся различные плотности распределений. Поэтому ТС может и не знать, о чём его спрашивают. Поэтому логично в задаче считать все неизвестные плотности равномерными.

Laguna в сообщении #1623043 писал(а):

однако возникают затруднения при подсчёте вероятности попадания в краевых участках прямоугольника.

Вы бы намекнули на свои затруднения.

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1623065 писал(а):

Бывает, что в курсах ТВ (см.,например, Гнеденко, пар.4) задачи на геометрические вероятности вводятся ещё до того, как вводятся различные плотности распределений. Поэтому ТС может и не знать, о чём его спрашивают. Поэтому логично в задаче считать все неизвестные плотности равномерными.

Чаще бывает, что человек самостоятельно отнес задачу к задачам на геометрическую вероятность.

[Laguna]

svv в сообщении #1623055 писал(а):

То, что Вы сказали, понятно, но я спрашиваю о другом. Предположим, что стрелок всегда целится в точку (0,0). Стреляет 1000 раз.

Во всех трёх вариантах пуля случайно попадает в некоторую точку квадрата $0.5\times 0.5$. Чем эти варианты различаются? Законом распределения. Задайте закон распределения.

sergey zhukov предполагает, что распределение равномерное (левая картинка). Случай простой для вычисления, но не очень реалистичный. Берёте?

Да, распределение тут равномерное как при прицеливании, так и при попадании пули

-- 20.12.2023, 17:23 --

Эта задача с домашки по теории вероятностей фкн вшэ,а тема, которой относится это дз - геометрическая вероятность

-- 20.12.2023, 17:52 --

мат-ламер в сообщении #1623065 писал(а):

Laguna в сообщении #1623043 писал(а):

Задача на геометрическую вероятность

Бывает, что в курсах ТВ (см.,например, Гнеденко, пар.4) задачи на геометрические вероятности вводятся ещё до того, как вводятся различные плотности распределений. Поэтому ТС может и не знать, о чём его спрашивают. Поэтому логично в задаче считать все неизвестные плотности равномерными.

Laguna в сообщении #1623043 писал(а):

однако возникают затруднения при подсчёте вероятности попадания в краевых участках прямоугольника.

Вы бы намекнули на свои затруднения.

В этой задаче я пришёл к тому, что надо использовать формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин. Рассуждения такие: Сначала я ввёл 2 с.в. x1 - координата ПРИЦЕЛИВАНИЯ стрелка по оси абсцисс, y1 - координата прицеливания по оси ординат. Они, очевидно, распределены равномерно: x1 на отрезке [0,2], a y1 на отрезке [0,3]. Далее я ввёл еще 2 с.в. - x2 - координата ПОПАДАНИЯ пули по оси абсцисс и y2 - координата попадания по оси ординат. x2 и y2 распределены равномерно на отрезке [x1 - $\frac{1}{4}$,x1 + $\frac{1}{4}$] и [y1 - $\frac{1}{4}$,y1 + $\frac{1}{4}$] соответственно. Очевидно, что x1 и y1 независимы, равно как и y2 и x2. А вот x1 и x2, очевидно, зависимы, равно как и y1 и y2. Таким образом, нас интересует вероятность следующего события P((0 < x2 < 2)$\cap$ (0 < y2 < 3)). Пусть A - событие (0 < x2 < 2), a B - событие (0 < y2 < 3). Несложно показать, что A и B независимы. Таким образом, искомая вероятность есть P(0 < x2 < 2) $\cdot$ P(0 < y2 < 3). Вот тут начинается самое интересное. Для поиска этих вероятностей надо использовать формулу полной вероятности, а т.к. величины непрерывные, то в вычислениях появятся интегралы. Моя основная трудность как раз и заключается в том, что я не понимаю, как правильно составить эти интегралы

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

Моя основная трудность как раз и заключается в том, что я не понимаю, как правильно составить эти интегралы

В принципе эту задачу можно решать с помощью интегралов. При желании даже с помощью двойных Но поскольку вы только начали обучение в ВУЗе и тема - "геометрические вероятности", то логично использовать сугубо интуитивные геометрические методы.

Laguna в сообщении #1623043 писал(а):

Пробовал разбить прямоугольник на фигуры поменьше и посчитать отдельно вероятность там

Это у вас была хорошая начальная идея. Надо разбить исходный прямоугольник на девять поменьше. И подсчитать площадь каждого, но с неким поправочным коэффициентом. Смысл этого коэффициента - средняя вероятность попадания в данном прямоугольнике. Для того, чтобы его найти, можно проводить горизонтальные и вертикальные прямые, и смотреть, как меняется вероятность попадания вдоль этих прямых. Для боковых прямоугольников достаточно одной прямой. Для угловых квадратиков нужно две перпендикулярные прямые. И учесть, что вероятности попадания (промаха) по каждой координате независимы.

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

то в вычислениях появятся интегралы. Моя основная трудность как раз и заключается в том, что я не понимаю, как правильно составить эти интегралы

Если же всё-таки есть желание считать через интегралы, то в данном случае интеграл, это площадь под некоторой кусочно-линейной функцией. Надо только сообразить под какой. Чтобы её найти

мат-ламер в сообщении #1623156 писал(а):

можно проводить горизонтальные и вертикальные прямые, и смотреть, как меняется вероятность попадания вдоль этих прямых.

[svv]

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

В этой задаче я пришёл к тому, что надо использовать формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин. Рассуждения такие: Сначала я ввёл 2 с.в. x1 - координата ПРИЦЕЛИВАНИЯ стрелка по оси абсцисс, y1 - координата прицеливания по оси ординат. Они, очевидно, распределены равномерно: x1 на отрезке [0,2], a y1 на отрезке [0,3]. Далее я ввёл еще 2 с.в. - x2 - координата ПОПАДАНИЯ пули по оси абсцисс и y2 - координата попадания по оси ординат. x2 и y2 распределены равномерно на отрезке [x1 - $\frac{1}{4}$,x1 + $\frac{1}{4}$] и [y1 - $\frac{1}{4}$,y1 + $\frac{1}{4}$] соответственно.

Вот, отлично! Это то, чего не хватало.

(Формулки)

Посмотрите, пожалуйста, как надо записывать формулы. Основной принцип: формула не лепится из кусочков. На одну формулу, даже длинную — только два знака доллара, один в начале, другой в конце. Это касается даже отдельных переменных в тексте. Получится красиво (не говоря о том, что так надо по правилам форума). Сравните:
Набираем
[x1 - $\frac{1}{4}$,x1 + $\frac{1}{4}$]
Получаем
[x1 - $\frac{1}{4}$,x1 + $\frac{1}{4}$]
Набираем
$[x_1 - \frac{1}{4},x_1 + \frac{1}{4}]$
Получаем
$[x_1 - \frac{1}{4},x_1 + \frac{1}{4}]$
Обратите внимание, как набираются индексы. Если в индексе несколько символов, используйте фигурные скобки: $A^{17}_{ijk}$ (подведите к формуле курсор мышки, чтобы увидеть её код).

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

Очевидно, что x1 и y1 независимы, равно как и y2 и x2.

Ну как очевидно — это надо задавать в условии. Из того, что с.в. $x_1$ и $y_1$ распределены равномерно каждая на своём отрезке, их независимость не следует. Например, представьте, что стрелок случайно с равномерным распределением выбирает точку на одной диагонали прямоугольника. Тогда $x_1,y_1$ распределены равномерно, но зависимы на полную катушку.
Обозначим через $a,b$ отклонения от цели:
$a=x_2-x_1$
$b=y_2-y_1$
Разумно потребовать, чтобы величины $x_1,y_1,a,b$ были независимы в совокупности. Но, опять же, это ниоткуда не следует. Могу привести реалистичный пример зависимости. Когда стрелок выбирает точку близко к краю прямоугольника, он сильно волнуется, у него трясутся руки, и дисперсия $a,b$ увеличивается. Правда, Вы такой вариант уже исключили.

Если будете записывать интегралы, я бы посоветовал сначала рассмотреть случай заданных, фиксированных $x_1,y_1$.

[Vadim32]

Нужно работать в двумерном пространстве, на котором задаётся плотность вероятности. Задаём прямоугольник 3x2, на этом прямоугольнике задаём плотность вероятности 1/6, чтобы нормировать на единицу, в остальной зоне задаём 0. Получим исходную функцию распределения без отклонений, это функция мишени. Дальше, у нас есть ещё функция ошибки, это например гауссиан с сигмой 1/4, ну или какую считаете более правильной функцию ошибки, которая также задана на двумерном пространстве. Чтобы получить результирующую функцию распределения попадания пули с учётом ошибки, нужно сделать свёртку исходной функции мишени с функцией ошибки. Получаем новую функцию распределения - результирующую. Нужно нормировать её на единицу. Осталось рассмотреть эту результирующую функцию и определить, какая её часть будет совпадать с функцией мишенью. Для этого находим скалярное произведение функции мишени и результирующей функции. Это и будет вероятность попадания в исходную функцию.

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

Очевидно, что x1 и y1 независимы, равно как и y2 и x2.

Отсюда следует, что вместо решения двумерной задачи можно решить по отдельности две одномерных задачи, а затем для ответа вычислить произведение этих решений.

[Laguna]

мат-ламер в сообщении #1623156 писал(а):

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

Моя основная трудность как раз и заключается в том, что я не понимаю, как правильно составить эти интегралы

В принципе эту задачу можно решать с помощью интегралов. При желании даже с помощью двойных Но поскольку вы только начали обучение в ВУЗе и тема - "геометрические вероятности", то логично использовать сугубо интуитивные геометрические методы.

Laguna в сообщении #1623043 писал(а):

Пробовал разбить прямоугольник на фигуры поменьше и посчитать отдельно вероятность там

Это у вас была хорошая начальная идея. Надо разбить исходный прямоугольник на девять поменьше. И подсчитать площадь каждого, но с неким поправочным коэффициентом. Смысл этого коэффициента - средняя вероятность попадания в данном прямоугольнике. Для того, чтобы его найти, можно проводить горизонтальные и вертикальные прямые, и смотреть, как меняется вероятность попадания вдоль этих прямых. Для боковых прямоугольников достаточно одной прямой. Для угловых квадратиков нужно две перпендикулярные прямые. И учесть, что вероятности попадания (промаха) по каждой координате независимы.

К сожалению, я учусь не в вшэ на фкн, а также я далеко не первокурсник и тервером владею на чуть большем уровне(знаю про плотности распределений, случайные векторы) и матаном владею не на дилетантском уровне . Что касается идеи про разбиение прямоугольника на части, то там получается очень много вычислений,а хотелось бы как-то поэлегантнее. Также я не совсем понял вашу идею про среднюю вероятность попадания в конкретную часть прямоугольника, а именно часть про горизонтальные и вертикальные прямые. Вот я построил какую-то прямую и как теперь понять, как меняется вероятность попадания вдоль этой прямой?

-- 20.12.2023, 22:14 --

svv в сообщении #1623177 писал(а):

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

В этой задаче я пришёл к тому, что надо использовать формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин. Рассуждения такие: Сначала я ввёл 2 с.в. x1 - координата ПРИЦЕЛИВАНИЯ стрелка по оси абсцисс, y1 - координата прицеливания по оси ординат. Они, очевидно, распределены равномерно: x1 на отрезке [0,2], a y1 на отрезке [0,3]. Далее я ввёл еще 2 с.в. - x2 - координата ПОПАДАНИЯ пули по оси абсцисс и y2 - координата попадания по оси ординат. x2 и y2 распределены равномерно на отрезке [x1 - $\frac{1}{4}$,x1 + $\frac{1}{4}$] и [y1 - $\frac{1}{4}$,y1 + $\frac{1}{4}$] соответственно.

Вот, отлично! Это то, чего не хватало.

(Формулки)

Посмотрите, пожалуйста, как надо записывать формулы. Основной принцип: формула не лепится из кусочков. На одну формулу, даже длинную — только два знака доллара, один в начале, другой в конце. Это касается даже отдельных переменных в тексте. Получится красиво (не говоря о том, что так надо по правилам форума). Сравните:
Набираем
[x1 - $\frac{1}{4}$,x1 + $\frac{1}{4}$]
Получаем
[x1 - $\frac{1}{4}$,x1 + $\frac{1}{4}$]
Набираем
$[x_1 - \frac{1}{4},x_1 + \frac{1}{4}]$
Получаем
$[x_1 - \frac{1}{4},x_1 + \frac{1}{4}]$
Обратите внимание, как набираются индексы. Если в индексе несколько символов, используйте фигурные скобки: $A^{17}_{ijk}$ (подведите к формуле курсор мышки, чтобы увидеть её код).

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

Очевидно, что x1 и y1 независимы, равно как и y2 и x2.

Ну как очевидно — это надо задавать в условии. Из того, что с.в. $x_1$ и $y_1$ распределены равномерно каждая на своём отрезке, их независимость не следует. Например, представьте, что стрелок случайно с равномерным распределением выбирает точку на одной диагонали прямоугольника. Тогда $x_1,y_1$ распределены равномерно, но зависимы на полную катушку.
Обозначим через $a,b$ отклонения от цели:
$a=x_2-x_1$
$b=y_2-y_1$
Разумно потребовать, чтобы величины $x_1,y_1,a,b$ были независимы в совокупности. Но, опять же, это ниоткуда не следует. Могу привести реалистичный пример зависимости. Когда стрелок выбирает точку близко к краю прямоугольника, он сильно волнуется, у него трясутся руки, и дисперсия $a,b$ увеличивается. Правда, Вы такой вариант уже исключили.

Если будете записывать интегралы, я бы посоветовал сначала рассмотреть случай заданных, фиксированных $x_1,y_1$.

Спасибо, я новичок на форуме, уже пару раз отлетал в карантин за несоответствие правилам, пока учусь как все формулы по фэн-шую оформлять. А насчёт вашего замечания про неочевидность независимости с.в. $x_1$ и $y_1$, то тут мне сложно согласиться. Ваш пример с диагональю мне понятен, но ведь тут другой случай. Я рассуждаю так, пусть мы сначала выбрали координату цели по оси абсцисс, и далее наш выбор никак не ограничивает с.в. $y_1$, которая ответственна за координату цели по оси ординат. Аналогично со с. в-ми попадания пули

-- 20.12.2023, 22:18 --

Vadim32 в сообщении #1623180 писал(а):

Нужно работать в двумерном пространстве, на котором задаётся плотность вероятности. Задаём прямоугольник 3x2, на этом прямоугольнике задаём плотность вероятности 1/6, чтобы нормировать на единицу, в остальной зоне задаём 0. Получим исходную функцию распределения без отклонений, это функция мишени. Дальше, у нас есть ещё функция ошибки, это например гауссиан с сигмой 1/4, ну или какую считаете более правильной функцию ошибки, которая также задана на двумерном пространстве. Чтобы получить результирующую функцию распределения попадания пули с учётом ошибки, нужно сделать свёртку исходной функции мишени с функцией ошибки. Получаем новую функцию распределения - результирующую. Нужно нормировать её на единицу. Осталось рассмотреть эту результирующую функцию и определить, какая её часть будет совпадать с функцией мишенью. Для этого находим скалярное произведение функции мишени и результирующей функции. Это и будет вероятность попадания в исходную функцию.

Я пока не владею тервером на таком уровне и не совсем понимаю, о чём вы говорите(что такое гауссиан, причём тут скалярное произведение). Я пообщался с одним опытным преподавателем, и тот сказал, что задача легко решается через формулу полной вероятности для непрерывных с.в.. Ваше решение, наверное, верное, однако в силу моей некомпетентности, хотелось бы увидеть "пролетарское" решение

-- 20.12.2023, 22:19 --

мат-ламер в сообщении #1623183 писал(а):

Laguna в сообщении #1623148 писал(а):

Очевидно, что x1 и y1 независимы, равно как и y2 и x2.

Отсюда следует, что вместо решения двумерной задачи можно решить по отдельности две одномерных задачи, а затем для ответа вычислить произведение этих решений.

В своём сообщении про мои рассуждения я это и подметил

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1623194 писал(а):

Что касается идеи про разбиение прямоугольника на части, то там получается очень много вычислений,а хотелось бы как-то поэлегантнее.

Генри Форд как-то высказался в том духе, что никакое дело не покажется невыполнимым, если предварительно разбить его на мелкие части. Чувствую, что двумерная постановка задачи для вас пока сложна. Предлагаю для начала ограничиться одномерной задачей. Пусть стрелок стреляет в горизонтальный отрезок, ошибается он сугубо по горизонтали, а по вертикали стреляет точно.

Laguna в сообщении #1623194 писал(а):

Вот я построил какую-то прямую и как теперь понять, как меняется вероятность попадания вдоль этой прямой?

В новой постановке строить уже ничего не нужно. У нас уже есть отрезок - сама мишень. Осталось узнать, как меняется вероятность попадания, если мы будем целиться в разные точки мишени. Арнольд как-то высказался в том духе, что математика во многом наука экспериментальная. Возьмите отрезок, по длине равный ширине мишени. Выберите на нём несколько точек. Посчитайте вероятность попадания для них. После чего постройте гипотезу о виде функции, которая показывает вероятность попадания в каждой конкретной точке мишени.