Задача на геометрическую вероятность

[Vadim32]

Попытался на видео решить задачу по-пролетарски https://youtu.be/onuWeg8h_w0

[Laguna]

мат-ламер в сообщении #1623252 писал(а):

Laguna в сообщении #1623194 писал(а):

Что касается идеи про разбиение прямоугольника на части, то там получается очень много вычислений,а хотелось бы как-то поэлегантнее.

Генри Форд как-то высказался в том духе, что никакое дело не покажется невыполнимым, если предварительно разбить его на мелкие части. Чувствую, что двумерная постановка задачи для вас пока сложна. Предлагаю для начала ограничиться одномерной задачей. Пусть стрелок стреляет в горизонтальный отрезок, ошибается он сугубо по горизонтали, а по вертикали стреляет точно.

Laguna в сообщении #1623194 писал(а):

Вот я построил какую-то прямую и как теперь понять, как меняется вероятность попадания вдоль этой прямой?

В новой постановке строить уже ничего не нужно. У нас уже есть отрезок - сама мишень. Осталось узнать, как меняется вероятность попадания, если мы будем целиться в разные точки мишени. Арнольд как-то высказался в том духе, что математика во многом наука экспериментальная. Возьмите отрезок, по длине равный ширине мишени. Выберите на нём несколько точек. Посчитайте вероятность попадания для них. После чего постройте гипотезу о виде функции, которая показывает вероятность попадания в каждой конкретной точке мишени.

Сегодня сразу после того, как проснулся, прочёл ваше сообщение, и тут произошло озарение. Спасибо, кажется, я решил задачу.

-- 21.12.2023, 16:14 --

Vadim32 в сообщении #1623279 писал(а):

Попытался на видео решить задачу по-пролетарски https://youtu.be/onuWeg8h_w0

Искренне благодарен Вам за то, что записали видео с решением, так гораздо проще разобраться. Однако, одно меня печалит, что я только что вроде как решил задачу, однако ответы у нас с Вами расходятся. Моя вероятность равна 0.8984375, а у Вас получилось 0.89129. И кто прав?

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1623318 писал(а):

Моя вероятность равна 0.8984375

У меня получилось столько же. Ролик не смотрел.

[Vadim32]

Laguna в сообщении #1623318 писал(а):

Vadim32 в сообщении #1623279 писал(а):

Попытался на видео решить задачу по-пролетарски https://youtu.be/onuWeg8h_w0

Искренне благодарен Вам за то, что записали видео с решением, так гораздо проще разобраться. Однако, одно меня печалит, что я только что вроде как решил задачу, однако ответы у нас с Вами расходятся. Моя вероятность равна 0.8984375, а у Вас получилось 0.89129. И кто прав?

Я же не знаю ваше решение. Могу предложить свои расчёты в маткаде

[Laguna]

Vadim32 в сообщении #1623324 писал(а):

Laguna в сообщении #1623318 писал(а):

Vadim32 в сообщении #1623279 писал(а):

Попытался на видео решить задачу по-пролетарски https://youtu.be/onuWeg8h_w0

Искренне благодарен Вам за то, что записали видео с решением, так гораздо проще разобраться. Однако, одно меня печалит, что я только что вроде как решил задачу, однако ответы у нас с Вами расходятся. Моя вероятность равна 0.8984375, а у Вас получилось 0.89129. И кто прав?

Я же не знаю ваше решение. Могу предложить свои расчёты в маткаде

Как я уже писал выше, я представил искомую вероятность в виде произведения 2-х вероятностей,а затем по совету мат-ламера разобрался с каждой по отдельности, используя формулу полной вероятности в непрерывном случае. Я по-прежнему не шибко уверен в ответе, может Ваше решение верное, однако, как это узнать?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1623322 писал(а):

Ролик не смотрел

Начал смотреть. На третьей минуте возникает некая пирамидка. У пирамидки сверху кусочно-линейная поверхность. У нас поверхность - декартово произведение кусочно-линейных функций. И в угловых квадратиках возникают уже квадратичные поверхности.

Laguna в сообщении #1623318 писал(а):

Однако, одно меня печалит, что я только что вроде как решил задачу, однако ответы у нас с Вами расходятся.

Может кто ещё подключится к решению.

[Vadim32]

мат-ламер в сообщении #1623335 писал(а):

Начал смотреть. На третьей минуте возникает некая пирамидка. У пирамидки сверху кусочно-линейная поверхность. У нас поверхность - декартово произведение кусочно-линейных функций. И в угловых квадратиках возникают уже квадратичные поверхности.

Laguna в сообщении #1623318 писал(а):

Однако, одно меня печалит, что я только что вроде как решил задачу, однако ответы у нас с Вами расходятся.

Может кто ещё подключится к решению.

Не знаю как ваше решение, но моё решение, действительно не совсем верно, потому что предположение о том, что свёртка двух прямоугольников окажется линейной пирамидкой слишком упрощённое и пролетарское. Свёртка в углах действительно даёт искривлённую поверхность. Корректно свёртку надо брать интегрированием.

[Vadim32]

Вот, кажется ответ сошёлся в вашим.

[svv]

Пусть стрелок целился в точку $\mathbf r_1=(x_1,y_1)$, а попал в точку $\mathbf r_2=(x_2,y_2)$.
Пусть вектор отклонения $\mathbf r_d=(x_d,y_d)=\mathbf r_2-\mathbf r_1$.
Определим ещё прямоугольник и квадрат
$P=\{\;(x,y)\;|\;x\in[0;3]\;\wedge\; y\in[0;2]\;\}$
$Q=\{\;(x,y)\;|\;x\in[-\frac 1 4;\frac 1 4]\;\wedge\; y\in[-\frac 1 4;\frac 1 4]\}\;$
Их площади $S(P)=6,\;S(Q)=\frac 1 4$.

Векторы $\mathbf r_1$ и $\mathbf r_d$ — независимые двумерные случайные величины. Их плотности распределения
$p_{\mathbf r_1}(x_1,y_1)=\begin{cases}\frac 1{S(P)},&\mathbf r_1\in P\\0,&\mathbf r_1\notin P\end{cases}\qquad p_{\mathbf r_d}(x_d,y_d)=\begin{cases}\frac 1{S(Q)},&\mathbf r_d\in Q\\0,&\mathbf r_d\notin Q\end{cases}$
Пара этих векторов будет уже четырёхмерной случайной величиной с плотностью распределения $p_{\mathbf r_1} p_{\mathbf r_d}$. Чтобы получить ответ задачи, надо проинтегрировать эту плотность по 4-мерной области $\Omega$, задаваемой условиями
$\begin{cases}\mathbf r_1\in P\\\mathbf r_d\in Q\\\mathbf r_1+\mathbf r_d\in P\end{cases}$
Получаем интеграл
$\int\limits_\Omega p_{\mathbf r_1}\;p_{\mathbf r_d}\;dx_1\;dy_1\;dx_d\;dy_d=\frac 1{S(P)S(Q)}\int\limits_\Omega dx_1\;dy_1\;dx_d\;dy_d=\frac 2 3\,S(X)\,S(Y),$
где двумерные области $X$ и $Y$ задаются соответственно в координатах $(x_1,x_d)$ и $(y_1,y_d)$ условиями
$\begin{cases}x_1\in [0;3]\\x_d\in[-\frac 1 4;\frac 1 4]\\x_1+x_d\in [0;3]\end{cases}$ и $\begin{cases}y_1\in [0;2]\\y_d\in[-\frac 1 4;\frac 1 4]\\y_1+y_d\in [0;2]\end{cases}$
Построим области $X$ и $Y$:

Крупные деления сетки идут через $1$, мелкие через $0.25$. Считаем площадь по клеточкам, получаем
$S(X)=\frac {23}{16},\;S(Y)=\frac{15}{16},$
$\frac 2 3S(X)S(Y)=\frac{115}{128}=0.8984375$