Определение подмножества

[Igogor64]

Xaositect в сообщении #270500 писал(а):

Lyosha в сообщении #270486 писал(а):

Ведь используя определение подмножества нельзя установить, что пустое множество является частью какого-либо другого множества

У Вас какое-то странное определение подмножества.

А как в принципе может быть определение подмножества, если нет и, добавлю - не может быть, определения самого множества?

Хотя сам вопрос определения тут интересен. Ведь всякое определение всегда есть определение по отношению к чему-то иному (иному относительно того, что определяется), но при этом внутри одного "универсума рассуждения". Универсум рассуждения внутри множества состоит из сущностей (субъектов) двух видов - 1) "просто элементов данного множества" (пэдм) и 2) "элементов данного множества, являющихся его подмножествами" (эдмяп).
При этом самим определением будет указание такого предиката х, который является истинным в отношении одного из субъектов и ложным в отношении другого. То есть:

а) Высказывание "Спэдм есть Пх" - истинно. Высказывание "Сэдмяп есть Пх" - ложно.
либо
б) Высказывание "Спэдм есть Пх" - ложно. Высказывание "Сэдмяп есть Пх" - истинно.

При этом ложность или истинность высказываний выше должна определяться по свойствам самих субъектов высказываний, а не по их именам. Так как ложность или истинность высказывания не зависит от того, каким именем назван субъект этого высказывания - именем "элемент множества" или именем "подмножества множества".

Из этого с очевидностью следует, что такое определение дать невозможно, так как свойства элемента множества и свойства подмножества множества не различимы. Различаются только имена этих сущностей, а не сами сущности. Или, иначе: отличаются только слова, которые мы используем, говоря об этом; само же это, то есть, то, о чем мы говорим - одно и то же. Мы говорим об одном и том же, но говорим разными словами. И из-за этого своего разного говорения об одном и том же у нас возникает иллюзия, что мы имеем дело с разными сущностями.

Поясню, что означает сказанное применительно к рассматриваемым здесь тезисам (по-другому это не назовешь) так называемой теории множеств:
1) "Любое множество содержит само себя в качестве элемента."
2) "Любое множество состоит из объединения самого этого множества с пустым множеством".

Для этого рассмотрим так называемое "единичное множество", то есть, множество Х из одного элемента А, и его переход в множество, представляющее собой объединение его самого с пустым множеством.

1) Переход от "просто" множества Х к "множеству Х, содержащему себя в качестве своего подмножества", представляет собой просто заключение элемента А в скобки или в кружочек на диаграмме Эйлера-Вьенна. Это - тот же самый элемент А, что и был, мы просто слева и справа от него поставили скобки, или вокруг него нарисовали кружочек. Но, разумеется, эти скобки или кружочки не попадают в само множество. Мы элемент А просто переименовали, просто перешли к новой записи того, что мы до этого называли именем "А" (без скобок и кружков), к записи его в скобках или к обозначению (на диаграмме Вьенна) внутри еще одного кружка
//Для интересующихся: Джордж Спенсер Браун начинает свою "Логику форм" с того, что а) рисует в "пустом" месте на бумаге кружочек, объявляя его "границей"; б) переходит из внутренней части кружка в его внешнюю часть; в) переходит из внешней части кружка в его внутреннюю часть (Спенсер-Браун называет это хождение туда-сюда через придуманную им же самим границу-скобку "повторным пересечением границы", имитирующем, надо полагать, "отрицание отрицания"); г) присваивает имя тому, что "находится" внутри кружка. К сожалению, не так давно Спесер-Браун умер, и выяснить у него самого, какие именно сущности возникают от создания пустых скобок и их снятия ("снятие" - термин Гегеля), уже не представляется возможным. Впрочем, Спенсер-Браун при жизни отказался от своих идей. Скорее всего, понял, что никакие границы такими манипуляциями не устанавливаются, никакие сущности не возникают, и присваивать имена тут нечему. Имена можно присваивать только тому, что уже существует к моменту своего именования.//
2) Пустое множество представляет собой просто скобки. Просто кружок на диаграмме Эйлера-Вьенна. Когда говорят - "пустое множество является единственным множеством, имеющим мощность 1, так как содержит в качестве элемента только себя", - имеют в виду, наверное, рисование сначала одного кружка, а потом второго кружка внутри первого. Таким образом возникает якобы сущность - "элемент пустого множества". Число сущностей внутри пустого множества, - а сущностями у нас здесь оказываются сами кружки-как-таковые, независимо от того, есть ли в них что-нибудь или нет, - теперь можно подсчитать. И записать символ "1". Или, можно произнести или записать целую фразу: "мощность пустого множества равна 1".
3) Теперь мы можем сказать, что такое "объединение (единичного) множества Х, состоящего из элемента А, с пустым множеством". Это - то же самое "А", бывшее до сих пор без скобок, но которое теперь заключено в скобки, и к этой записи добавлены просто скобки без чего-либо внутри этих скобок. Мы осуществили следующий, выражаясь словами Пелевина, переход из ниоткуда в никуда:

А -----> (А) и ()

К содержательности такого перехода, представляющего собой квинтэссенцию теории множеств, можно относиться как угодно. Можно считать её содержательной, то есть, полагать, что скобки-сами-по-себе () что-то содержат. Можно считать, - так, например, я считаю, - что она совершенно бессодержательна и бессмысленна. Можно считать, - и этот так и есть, - что обсуждать какие-либо свойства каких-либо "множеств", "подмножеств" и "элементов" заранее бессмысленно, так как нет никаких категорий сущностей, которые могли бы именоваться этими словами.
Да, всё это так. Но нужно представлять, что независимо от нашего отношения к этому, без теории множеств, причем именно такой теории множеств, которая является совершенно бессодержательной и бессмысленной, не может существовать такая необходимая нам всем в быту штука, как математика. Попробуйте добавить в теорию множеств хоть капельку содержания и смысла и вы увидите, что построить математику на основе такой "теории множеств", будет уже невозможно. Вы ведь, в конце концов, не хотите отказаться от знака "0", правда?

Теория множеств - идеальное средство для приумножения сущностей. Добавьте к теории множеств с системой аксиом Цермелло-Френкеля (ZF) так называемую "аксиому выбора" и вы увидите, как из одного шара можно вынуть равный ему другой шар и положить рядом с первым шаром. Теоремой Банаха-Тарского это доказывается. Никакой Гарри Куперфильд не может со своей шляпой сделать то, что делает с ней теория множеств ZF с добавленной аксиомой выбора. Гарри Куперфильд может достать из шляпы в лучшем случае кролика. Теория множеств ZFC может достать из шляпы саму эту шляпу и положить рядом с первой. Из второй шляпы можно будет извлечь третью шляпу. И так далее. Надеюсь, что в топологической изоморфности шара и шляпы вы не сомневаетесь.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:
Даже отдельные обозначения вроде $P(x)$ нужно оформлять как формулы. (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: топикстартер настаивает на своем праве обозначать множества русской буквой Х вместо латинской $X$, лишь бы не использовать $\TeX$. Видимо, поставить в начале и конце терма знак доллара - более трудная задача, нежели философский анализ теории множеств.

[Igogor64]

Цитата:

Причина переноса: топикстартер настаивает на своем праве обозначать множества русской буквой Х вместо латинской

На всякий случай уточню то, что было сказано в разделе "Карантин": я не настаиваю на каком-то "праве", а просто говорю, что использую условные имена множеств, как это принято в логической семантике, а не "принятые" обозначения множеств в теории множеств. Это имеет принципиальное значение, так как я хочу показать, что тот вопрос (о содержании утверждений или их смысле), который обсуждался в первоначальной ветке и который я комментирую, вообще не является вопросом теории множеств. Согласитесь, было бы странно использовать формат записи, принятый в теории множеств, в "заявлении" о том, что этот вопрос - вообще не вопрос теории множеств?

[mihaild]

Igogor64 в сообщении #1620571 писал(а):

А как в принципе может быть определение подмножества, если нет и, добавлю - не может быть, определения самого множества?

У нас есть список неопределяемых понятий, на которые можно ссылаться в определениях.
$x$ - подмножество $y$ (записывается как $x \subseteq y$) определяется через принадлежность: $x \subseteq y \leftrightarrow (\forall z: z \in x \rightarrow z \in y)$.
Это в математике. Что принято в "логической семантике" я не знаю, но тема в математическом разделе, а в математике "подмножество" ровно является термином из теории множеств, и соответственно любой вопрос про него - является вопросом теории множеств.

-- 01.12.2023, 17:40 --

Igogor64 в сообщении #1620571 писал(а):

Ведь всякое определение всегда есть определение по отношению к чему-то иному (иному относительно того, что определяется), но при этом внутри одного "универсума рассуждения".

Понятия "определение по отношение к чему-то" и "универсум рассуждения" не определены. Соответственно дальше читать невозможно.