Преф и поезд

[EUgeneUS]

Евгений Машеров в сообщении #1620073 писал(а):

И при длительной игре разница 20% и 21% может сказаться.

На решение, закладываться или нет - не повлияет.

Пример расчета.
Пусть играют четверо. При недоборе играющий ещё платит "штрафные" висты - каждому вистующему в размере вистов за недобранное количество взяток.

Пусть есть пять козырей (туз, король, без дамы) и два туза.
$p$- вероятность третьей дамы.

1. Играем шестерик.
Выигрыш:
$+ 15$ вистов за запись в пулю.
$- (8 p + 6 (1-p))$ - вистов за отданные взятки вистующим
Итого, ожидаемый выигрыш: $9 - 2p$

2. Играем семерик.
а) с вероятностью $(1-p)$ выиграли:
$+ 30$ вистов за запись в пулю.
$-12$ вистов - вистов за отданные взятки вистующим
Итого $28 (1-p)$

б) с вероятностью $p$ остались без одной взятки
$-30$ проиграли вистов за запись в гору
$- 4 (4+2) = - 24$ - проиграли вистов (включая штрафные).
Итого $-54 p$

Сравниваем
$ (9 - 2p) ? 28 (1-p) - 54p$
$80p ? 19$

И как видим, что $p=0.2$, что $p=0.21$ - решение одинаковое, надо играть семь, а закладываться не надо.

Если пересчитать для выбора "8 vs 9", то ответ может оказаться другим.

[мат-ламер]

Евгений Машеров в сообщении #1620066 писал(а):

В первую кучку первая карта окажется масти Б с вероятностью 17/20, следующая 16/19 и т.д. до десятой, 8/11. Поскольку события независимы, вероятность такого 0.105263158, а так как при этом раскладе все карты масти А попадут во вторую кучку, это даёт вероятность события "третья дама на второй руке". Но поскольку рук две - вероятность "на какой-то руке" есть 0.210526316.

Интересный ход мысли. Я считал так $p=9/19 \cdot 8/18$ .

-- Пн ноя 27, 2023 21:20:52 --

EUgeneUS в сообщении #1620088 писал(а):

1. Играем шестерик.
Выигрыш:
$+ 15$ вистов за запись в пулю.
$- (8 p + 6 (1-p))$ - вистов за отданные взятки вистующим
Итого, ожидаемый выигрыш: $9 - 2p$

Тут два варианта. Заказал шесть и взял шесть. Заказал шесть, а взял семь. И тут ещё варианты, а как вистуют? И оставить вистующих без взятки тоже приятно.

[Yadryara]

мат-ламер в сообщении #1620091 писал(а):

Я считал так $p=9/19 \cdot 8/18$ .

С чего вдруг? Вариантов раздать те самые $3$ карты, при условии раздачи всех $20$ карт двум игрокам поровну, всего-то два: $0-3$ или $1-2$.

$$2\cdot\dfrac{\binom{17}{10}}{\binom{20}{10}}+2\cdot\dfrac{3\cdot\binom{17}{9}}{\binom{20}{10}}=1$$

Численно:

$$\dfrac{38896}{184756}+\dfrac{145860}{184756}=1$$

Первое слагаемое — вероятность для $0-3$, второе — для $1-2$.

[gris]

Евгений Машеров, спасибо за разъяснение. А я болтался в снег и дождь и никак не мог отвязаться от мыслей о раскладах. После ужина накропал маленькую программку их моделирования.
Можно анализировать разные свойства миллиона раскладов и не заботиться о сигмах.
Вот например: поиск случаев раздачи 8 червей на руку. Их бывает от 14 до 17 штук. Мало миллиона!
Пример расклада: прикуп и три руки. 11 это червовый туз, а 43 — пиковая дама.
[28, 31]
[22, 23, 25, 26, 33, 35, 36, 38, 41, 43]
[21, 24, 27, 37, 42, 44, 45, 46, 47, 48]
[11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 32, 34]
.....
[37, 45]
[22, 25, 28, 31, 32, 33, 34, 36, 44, 47]
[11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 26, 38]
[21, 23, 24, 27, 35, 41, 42, 43, 46, 48]
Чтобы такое проанализировать?
Во: 4 туза без прикупа на одной руке.
[32, 46]
[12, 15, 16, 22, 25, 34, 35, 36, 38, 44]
[13, 14, 17, 18, 23, 28, 33, 43, 47, 48]
[11, 21, 24, 26, 27, 31, 37, 41, 42, 45]
...
17268 раз! Полтора процента.
Или: 2 туза в прикупе. Теоретически $10^6\cdot \dfrac 4{32}\cdot \dfrac 3{31}\approx 12087$
Практически: 12103, 12062, 12293.

[gris]

но если у меня на руках с прикупом ровно 5 бубновых карт, то вероятность того, что остальные три бубны на одной руке разве не $0.25$

[Yadryara]

gris, ну а где Ваш расчёт-то?

Евгений Машеров привёл свой. Впс — свой. Ответы совпали:

$$\dfrac{38896}{184756}=0.210526315789...$$

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1620091 писал(а):

Тут два варианта. Заказал шесть и взял шесть. Заказал шесть, а взял семь. И тут ещё варианты, а как вистуют? И оставить вистующих без взятки тоже приятно.

Да, вы правы. В том смысле, что два варианта-то я рассмотрел, но выигрыш при "заказал 6, взял 7" недооценил.
Пусть вистующие всегда принимают правильное решение, то есть играют, если есть третья дама и пасуют ("за пол виста"), если её нет. Тогда ожидаемый выигрыш при "заказал 6": $15 - (8p + 4(1-p)) = 11 - 4p$

И при расчете выигрыша на семерике ошибся в устном счете

И сравнивается:
$11 - 4p ? 18(1-p) - 54p$
$11 - 4p ? 18 - 72 p$
$68 p ? 7$

Соответственно, решение: закладываться надо.

Но опять же оно не зависит от того, $p=0.2$ или $p=0.21$.

[gris]

Yadryara, наверное, я опять не так понимаю процесс
прошла сдача. некто победил в торговле, забрал прикуп и смотрит в свои 12 карт. у него пять червей. дамы нет. остальные три на других руках. вероятность того, что они на одной руке равна одной четвёртой. только в этом случае дама будет третьей.

[EUgeneUS]

gris
В этот раз Вы процесс понимаете правильно, а вероятность посчитали/оценили не правильно.

-- 28.11.2023, 08:56 --

Вероятность, что первая карта попадет в какую-то из двух рук - единица.
Но вероятрость того, что каждая из двух других карт попадет в ту же самую руку отнюдь не будет равна $1/2$

[gris]

EUgeneUS, вот прошла сдача и получен прикуп. Передо мной две руки по 10 карт. Я знаю, что там лежит ровно три пики. Неважно какие. Процесс распределения по рукам уже прошёл. Кждая карта независимо от других лежит в одной из рук. Мы их можем занумеровать и посмотреть на равновероятные варианты распределения по рукам 1 и 2:
111 112 121 122 211 212 221 222. 8 вариантов, 2 нас удовлетворяют.
О, как я ошибался! Выручил комп. При натурных испытаниях 10 млн тестов вероятность третьей дамы получилась0.21046

[EUgeneUS]

gris
Эти варианты не равновероятны.

-- 28.11.2023, 10:16 --

Посчитайте аккуратно вероятности $111$ и $112$, например.

-- 28.11.2023, 10:17 --

И можете, кстати, написать программку для расчета вероятностей монтекарлом.

[Yadryara]

Вот здесь ошибка:

gris в сообщении #1620154 писал(а):

Мы их можем занумеровать и посмотреть на равновероятные варианты распределения по рукам 1 и 2:

Надо аккуратно обсчитать раздачу 20 карт на две руки по 10.

[Geen]

gris в сообщении #1620154 писал(а):

равновероятные варианты распределения по рукам

Так они не равновероятные. Равновероятны те распределения, которых $20!$.

[gris]

Вот 17 белых и 3 чёрных шарика. Случайно раскидаем их поровну в две урны. Какова вероятность, что чёрные шарики окажутся в одной урне? Это изоморфная задача?

[Amw]

EUgeneUS в сообщении #1620138 писал(а):

Соответственно, решение: закладываться надо.

На решение "закладываться или нет" влияет много факторов (6,7,8 или 9 планируется играть, чей ход, надо ли разыгрывать что-то типа марьяжа, наличие другой длинной масти и пр), поэтому в наших рассуждениях логично ограничиться только оценкой вероятности.

gris в сообщении #1620154 писал(а):

8 вариантов, 2 нас удовлетворяют

Это как в знаменитом анекдоте про вероятность встретить динозавра...

EUgeneUS в сообщении #1620155 писал(а):

И можете, кстати, написать программку для расчета вероятностей монтекарлом.

Поддерживаю, это бы было прямо по теме...