Башни групп и полей

[Ilya Shchigorets]

Доброго дня! Очень нужна помощь с решением заданий. Буду крайне признателен)

Пусть p- фиксированное простое число.
Задание 1. Назовем подгруппу H конечной группы G крутой, если она может быть соединена с G нормальной башней подгрупп индекса p:
G=G0⊃G1 ⊃…⊃Gn=H,
где Gi- нормальная подгруппа индекса p в Gi-1 для i=1,…,n.
1) Докажите, что пересечение двух крутых подгрупп в G само по себе крутое.
2) Докажите, что существует крутая подгруппа N⊂G, которая лежит во всех крутых подгруппах G. Докажите, что N нормальна в G.
3) Докажите, что любая подгруппа в G, которая содержит крутую подгруппу в G, является крутой сама по себе.

Задание 2. Назовем расширение поля L/F крутым, если оно может быть разложено в конечную башню расширений Галуа степени p:
F=L0⊂L1⊂…⊂Ln=L
где Li/Li-1- расширение Галуа степени p для разных i=1,…,n.
1) Докажите, что любое расширение Галуа полей степени p^{n} является крутым.
2) Докажите, что для любого среднего поля K крутого расширения полей L/F, расширение K/F является также крутым.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.