2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 00:44 
Здравствуйте.

Подскажите, пожалуйста, идеи к решению. У меня нет вообще никаких. Непонятно даже, в какую сторону смотреть.

$(x - 1)^{(x + 1)} + (x + 1)^{(x - 1)} = x^x$

 
 
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 02:07 
Буквально в любую.

 
 
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 02:08 
Аватара пользователя
f2498985 в сообщении #1617970 писал(а):
$(x - 1)^{(x + 1)} + (x + 1)^{(x - 1)} = x^x$
Сумма четных слагаемых не может быть нечетным числом $+$ гипотеза Била, которую никто еще не опроверг. А маленькие решения уравнения от одной переменной можно и подобрать.

 
 
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 03:04 
Andrey A в сообщении #1617980 писал(а):
Сумма четных слагаемых не может быть нечетным числом
Вроде б, про натуральность $x$ никто в условии не говорил

 
 
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 03:34 
Аватара пользователя
Оно в заглавии:
f2498985 в сообщении #1617970 писал(а):
Найти все натуральные решения уравнения

 
 
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 09:12 
Просто докажите, что $(x - 1)^{x + 1} > x^x$ для достаточно больших $x$ с явной оценкой.

 
 
 
 Re: Найти все натуральные решения уравнения
Сообщение15.11.2023, 19:57 
Для нечетных $n$ младший коэффициент полинома $p(x)=(x-1)^{n+1}+(x+1)^{n-1}-x^n$ равен $2\ne n$, старший равен единице. По теореме о рациональных корнях полинома, целые корни могут быть только среди целочисленных делителей 2.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group