Найти все натуральные решения уравнения

[f2498985]

Здравствуйте.

Подскажите, пожалуйста, идеи к решению. У меня нет вообще никаких. Непонятно даже, в какую сторону смотреть.

$(x - 1)^{(x + 1)} + (x + 1)^{(x - 1)} = x^x$

[KhAl]

Буквально в любую.

[Andrey A]

f2498985 в сообщении #1617970 писал(а):

$(x - 1)^{(x + 1)} + (x + 1)^{(x - 1)} = x^x$

Сумма четных слагаемых не может быть нечетным числом $+$ гипотеза Била, которую никто еще не опроверг. А маленькие решения уравнения от одной переменной можно и подобрать.

[iifat]

Andrey A в сообщении #1617980 писал(а):

Сумма четных слагаемых не может быть нечетным числом

Вроде б, про натуральность $x$ никто в условии не говорил

[Andrey A]

Оно в заглавии:

f2498985 в сообщении #1617970 писал(а):

Найти все натуральные решения уравнения

[dgwuqtj]

Просто докажите, что $(x - 1)^{x + 1} > x^x$ для достаточно больших $x$ с явной оценкой.

[Alex Krylov]

Для нечетных $n$ младший коэффициент полинома $p(x)=(x-1)^{n+1}+(x+1)^{n-1}-x^n$ равен $2\ne n$, старший равен единице. По теореме о рациональных корнях полинома, целые корни могут быть только среди целочисленных делителей 2.