Корень нецелой степени. Корень нулевой степени.

[toreto]

Скажите, пожалуйста, а что будет, если мы попытаемся извлечь корень нецелой степени из комплексного (ну или действительного, как частный случай)?

Хочется воспользоваться вот этой формулой, но ведь она для не работает для ненатуральных $x$, правильно ведь?

$\displaystyle\sqrt[x]{2}=2^\frac1x$

И вот такого вида пределы бессмысленно пытаться считать, правильно ли я понимаю? $\displaystyle\lim_{x\to +0}\sqrt[x]{2}$

[iifat]

Вполне себе работает, что ж ей сделается. Да и пределы — чтоб и не посчитать. Попробуете?

[toreto]

iifat в сообщении #1614035 писал(а):

Да и пределы — чтоб и не посчитать. Попробуете?

$\displaystyle\lim_{x\to +0}\sqrt[x]{2} = \displaystyle\lim_{x\to +0}2^\frac1x = +\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to -0}\sqrt[x]{2} =\displaystyle\lim_{x\to -0}2^\frac1x = 0$

Но при этом функция $f(x)=\displaystyle\lim_{x\to -0}\sqrt[x]{2}$ не определена в точке $x=0$ и еще вот этот предел не существует:

$\not\exists \displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[x]{2} =\displaystyle\lim_{x\to 0}2^\frac1x$

Правильно ли? То есть $x$ в $\sqrt[x]{2}$ может быть иррациональным и даже отрицательным (комплексным уж вряд ли, наверное)?

А если взять $g(x)=\sqrt[x]{1}$, то можно ли сказать, что $\displaystyle\lim_{x\to -0}\sqrt[x]{1}=\displaystyle\lim_{x\to +0}\sqrt[x]{1}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[x]{1}=1$? Но при этом $g(0)$ не определяется?

[wrest]

toreto в сообщении #1614040 писал(а):

Правильно ли? То есть $x$ в $\sqrt[x]{2}$ может быть иррациональным и даже отрицательным (комплексным уж вряд ли, наверное)?

Если вы вводите определение корня как

toreto в сообщении #1614031 писал(а):

$\displaystyle\sqrt[x]{2}=2^\frac1x$

то дальше всё как у показательной функции $f(x)=a^x$, надо пользоваться каким-то из определений её, или опять же определять по-своему. Тогда и ответ будет про рациональность, вещественность, комплексность, однозначность, область определения/значений и т.п.

[mihaild]

$\sqrt[x]{y}$ удобно воспринимать просто как синоним $y^\frac{1}{x}$ при $x \neq 0$ (и недопустимой записью при $x = 0$).

toreto в сообщении #1614040 писал(а):

$\not\exists \displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[x]{2} =\displaystyle\lim_{x\to 0}2^\frac1x$

Так не пишут, под квантором должна стоять переменная.

[toreto]

wrest в сообщении #1614051 писал(а):

Если вы вводите определение корня как

Спасибо. А определение корня же вводится так обычно, что корнем $\sqrt[n]{a}$ называется такое число $b$, чир $b^n=a$ + еще можно добавить слова про положительность. А вот эта штука - $\displaystyle\sqrt[x]{2}=2^\frac1x$ - уже определение дробной степени. Или я ошибаюсь, подскажите, пожалуйста?

-- 20.10.2023, 13:18 --

wrest в сообщении #1614051 писал(а):

то дальше всё как у показательной функции $f(x)=a^x$, надо пользоваться каким-то из определений её, или опять же определять по-своему. Тогда и ответ будет про рациональность, вещественность, комплексность, однозначность, область определения/значений и т.п.

Но там же вроде при любом раскладе должно быть ограничение $a<0$, иначе будем приходить каким-то несуразицам в стиле $1=(-1)^\frac26=(-1)^\frac13=-1$

-- 20.10.2023, 13:18 --

wrest в сообщении #1614051 писал(а):

то дальше всё как у показательной функции $f(x)=a^x$, надо пользоваться каким-то из определений её, или опять же определять по-своему. Тогда и ответ будет про рациональность, вещественность, комплексность, однозначность, область определения/значений и т.п.

Но там же вроде при любом раскладе должно быть ограничение $a<0$, иначе будем приходить каким-то несуразицам в стиле $1=(-1)^\frac26=(-1)^\frac13=-1$

-- 20.10.2023, 13:19 --

mihaild в сообщении #1614052 писал(а):

$\sqrt[x]{y}$ удобно воспринимать просто как синоним $y^\frac{1}{x}$ при $x \neq 0$ (и недопустимой записью при $x = 0$).

Хорошо, понял, спасибо. Только вот что первично все-таки - корень в такой ситуации или степень. Может ли быть $y < 0$?

-- 20.10.2023, 13:19 --

mihaild в сообщении #1614052 писал(а):

Так не пишут, под квантором должна стоять переменная.

Буду иметь ввиду, спасибо!

[mihaild]

toreto в сообщении #1614055 писал(а):

Только вот что первично все-таки - корень в такой ситуации или степень

В такой ситуации они равноправны. Но как правило пишут всё в степеннОм виде.

toreto в сообщении #1614055 писал(а):

Может ли быть $y < 0$?

А это зависит от того, в какой области мы работаем. Вообще $(-3 + i)^z$ - вполне нормальная функция (правда многозначная, но в комплексном анализе это не должно так уж сильно смущать).

[wrest]

toreto в сообщении #1614055 писал(а):

А определение корня же вводится так обычно, что корнем $\sqrt[n]{a}$ называется такое число $b$, чир $b^n=a$ + еще можно добавить слова про положительность.

Да, и ещё что $n$ - натуральное, значение корня положительно, а подкоренное выражение неотрицательно для четных $n$. Тогда это -- "арифметический корень".

Чтобы избежать всяких неясностей, проще говорить про показательную функцию (но опять же, с оговорками про область определения и т.п.).

toreto в сообщении #1614055 писал(а):

Но там же вроде при любом раскладе должно быть ограничение $a<0$, иначе

Запись $a<0$ имеет смысл для вещественных чисел, но для комплексных чисел отношение порядка не определено. Так что не "при любом раскладе".

То есть, вся эта тема -- терминологическая. Надо аккуратно определить что есть что, и после этого смотреть на пределы и т.п.

[Евгений Машеров]

Я привык к условности такого рода, что знак корня подразумевает, что под ним действительное число (для корня чётной степени неотрицательное), и значение корня будет действительным. Степень же корня предполагается натуральным числом. Иначе используется обозначение через степень. Это, разумеется, не обязательно, но удобно.

[Rak so dna]

toreto в сообщении #1614031 писал(а):

Скажите, пожалуйста, а что будет, если мы попытаемся извлечь корень нецелой степени из комплексного (ну или действительного, как частный случай)?

Будет очередное Великое Вымирание, так что лучше сами не пытайтесь и других не подначивайте. Здесь ссылку открывали? Если там ничего не понятно, то забудьте про

toreto в сообщении #1614055 писал(а):

Но там же вроде при любом раскладе должно быть ограничение $a<0$, иначе будем приходить каким-то несуразицам в стиле $1=(-1)^\frac26=(-1)^\frac13=-1$

И смиритесь (по крайней мере на ближайшее время) с тем, что:

$f(x)=a^x$ не определена для $a<0$,

$\sqrt[2n]{a}$ не определён для $a<0,$

$\sqrt[2n+1]{a}$ определён для любых действительных $a$.

[toreto]

Rak so dna в сообщении #1614088 писал(а):

Если там ничего не понятно, то забудьте про

Спасибо за ссылку, да, я открывал, часть материала понятна, а часть - нет (по большей части становится не очень ясно, когда подключается топология). На до этого были различные игры с представлением комплексного числа в различных формах), но вот эти расслоения и склейки, по всей видимости связаны с многозначностью корня. Мне же просто интересно знать про какие-то неоднозначности и ситуации, где могут в простых вопросах возникать разные интерпретации одних и тех же обозначений, разные определения) Из-за чего они возникают итп)) Спасибо!

[toreto]

А если корень $\sqrt[n]{2}$ - арифметический корень, то можно ли брать $n=1$, чтобы $\sqrt[n]{2}$ был равен $2$?

[iifat]

toreto в сообщении #1614136 писал(а):

можно ли брать $n=1$

Ну, зачем же спрашивать, когда можно проверить. Вы же сами писали, что $\sqrt[n]x=y$ означает по определению $y^n=x$. Вот и подставьте.

[Rak so dna]

toreto в сообщении #1614129 писал(а):

Мне же просто интересно знать про какие-то неоднозначности и ситуации, где могут в простых вопросах возникать разные интерпретации одних и тех же обозначений, разные определения) Из-за чего они возникают итп))

Если коротко и совсем "на пальцах", то ваша любимая "непонятка"

toreto в сообщении #1614055 писал(а):

несуразицам в стиле $1=(-1)^\frac26=(-1)^\frac13=-1$

объясняется примерно так:
Функция $f(x)=x^\frac{p}{q}$ при целом $p$ и натуральном $q$ является $q$-значной. После домножения числителя и знаменателя, например на $2$, функция $f(x)=x^\frac{2p}{2q}$ станет $2q$-значной. Поэтому просто так их нельзя приравнивать.

А знаком радикала $\sqrt[q]{x^p}$, как правило, обозначается главная ветвь из этих $q$ ветвей. Эта главная ветвь устроена так, что $\sqrt[q]{x^p}$ совпадает с арифметическим корнем при действительном $x$. Так же будет верно равенство $\sqrt{-1}=i$, а равенства $\sqrt{-1}=\pm i$ или $\sqrt{-1}=-i$ — уже нет.