2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость интеграла с параметром
Сообщение14.10.2023, 00:04 
Пусть интеграл $\int\limits_0^{+\infty}f(x)dx$ сходится. Тогда вопрос, обязательно ли сойдется такой интеграл для $\lambda\geqslant 0$: $$I(\lambda)=\int\limits_0^{+\infty}f(x)e^{-\lambda x}dx,$$ и при этом верно ли будет, что $\lim\limits_{\lambda\to0+}I(\lambda)=I(0)$?

Если исходный интеграл сходится абсолютно, тогда $I(\lambda)$ будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса при $\lambda\in[0,+\infty)$, а значит будет непрерывной функцией, и ответ на оба вопроса "да". Но вот если нет равномерной сходимости, тогда неочевидно...

 
 
 
 Re: Сходимость интеграла с параметром
Сообщение14.10.2023, 03:43 
Аватара пользователя
artempalkin в сообщении #1613434 писал(а):
обязательно ли сойдется такой интеграл для $\lambda\geqslant 0$:

Даже равномерно на всем этом множестве. Признак Абеля.
Дальше вы знаете.

 
 
 
 Re: Сходимость интеграла с параметром
Сообщение16.10.2023, 19:07 
Combat Zone
Да, спасибо, мудро!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group