Сходимость интеграла с параметром

[artempalkin]

Пусть интеграл $\int\limits_0^{+\infty}f(x)dx$ сходится. Тогда вопрос, обязательно ли сойдется такой интеграл для $\lambda\geqslant 0$:

$$I(\lambda)=\int\limits_0^{+\infty}f(x)e^{-\lambda x}dx,$$

и при этом верно ли будет, что $\lim\limits_{\lambda\to0+}I(\lambda)=I(0)$?

Если исходный интеграл сходится абсолютно, тогда $I(\lambda)$ будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса при $\lambda\in[0,+\infty)$, а значит будет непрерывной функцией, и ответ на оба вопроса "да". Но вот если нет равномерной сходимости, тогда неочевидно...

[Combat Zone]

artempalkin в сообщении #1613434 писал(а):

обязательно ли сойдется такой интеграл для $\lambda\geqslant 0$:

Даже равномерно на всем этом множестве. Признак Абеля.
Дальше вы знаете.

[artempalkin]

Combat Zone
Да, спасибо, мудро!