Ткачук, Упражнения для уровня 3

[ilyabelykh]

В "Математика абитуриенту" Ткачука в уроке 1 приведены формулы для решения уравнений вида:
$\sin x = a$

$\cos x = a$

$\tg x = a$

$\ctg x = a$

В упражнениях для уровня 3 к этому уроку сказано доказать все 4 формулы. Я вообще не понимаю как это можно сделать. Разве они не следуют просто из определений аркфункций?

[TOTAL]

ilyabelykh в сообщении #1608544 писал(а):

Разве они не следуют просто из определений аркфункций?

Кто они? Здесь нет никаких формул.

[ilyabelykh]

TOTAL в сообщении #1608546 писал(а):

ilyabelykh в сообщении #1608544 писал(а):

Разве они не следуют просто из определений аркфункций?

Кто они? Здесь нет никаких формул.

Извиняюсь, забыл приложить:

Прикладываю скриншотом, переписывать, думаю, не стоит

[gefest_md]

ilyabelykh в сообщении #1608544 писал(а):

В упражнениях для уровня 3 к этому уроку сказано доказать все 4 формулы.

Перечислены предложения. Значит можно говорить об их истинности или ложности. Правда кванторы подразумеваются. Скажем первое предложение можно уточнить таким образом.

Для любых $x, a\in\mathbb{R},$

1. $\sin x=a$

тогда и только тогда, когда

2. a) если $|a|\leqslant 1,$ то существует $n\in\mathbb{Z},$ что $x=(-1)^n\arcsin a + n\pi$ и
2. б) если $|a|>1,$ то $x\in\varnothing.$

(Оффтоп)

Если так не пишут в учебниках, то это следствие того, что школа - трибуна для учителя в большей степени.

[TOTAL]

"Доказать" формулы можно подстановкой. Убеждаемся, что получаются верные равенства.

[ShMaxG]

ilyabelykh в сообщении #1608544 писал(а):

Разве они не следуют просто из определений аркфункций?

Да, нужно воспользоваться определением аркфункций, учесть их область определения, и распространить решения на всю числовую ось (все периоды соответствующей тригонометрической функции).

TOTAL в сообщении #1608552 писал(а):

"Доказать" формулы можно подстановкой. Убеждаемся, что получаются верные равенства.

Не совсем. Так мы докажем, что эти формулы являются решениями соответствующих уравнений, но это не доказывает, что других решений нет.