2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ткачук, Упражнения для уровня 3
Сообщение09.09.2023, 14:02 
В "Математика абитуриенту" Ткачука в уроке 1 приведены формулы для решения уравнений вида:
$\sin x = a$

$\cos x = a$

$\tg x = a$

$\ctg x = a$

В упражнениях для уровня 3 к этому уроку сказано доказать все 4 формулы. Я вообще не понимаю как это можно сделать. Разве они не следуют просто из определений аркфункций?

 
 
 
 Re: Ткачук, Упражнения для уровня 3
Сообщение09.09.2023, 14:14 
Аватара пользователя
ilyabelykh в сообщении #1608544 писал(а):
Разве они не следуют просто из определений аркфункций?
Кто они? Здесь нет никаких формул.

 
 
 
 Re: Ткачук, Упражнения для уровня 3
Сообщение09.09.2023, 14:22 
TOTAL в сообщении #1608546 писал(а):
ilyabelykh в сообщении #1608544 писал(а):
Разве они не следуют просто из определений аркфункций?
Кто они? Здесь нет никаких формул.


Извиняюсь, забыл приложить:
Изображение
Прикладываю скриншотом, переписывать, думаю, не стоит

 
 
 
 Re: Ткачук, Упражнения для уровня 3
Сообщение09.09.2023, 14:55 
Аватара пользователя
ilyabelykh в сообщении #1608544 писал(а):
В упражнениях для уровня 3 к этому уроку сказано доказать все 4 формулы.
Перечислены предложения. Значит можно говорить об их истинности или ложности. Правда кванторы подразумеваются. Скажем первое предложение можно уточнить таким образом.

Для любых $x, a\in\mathbb{R},$

1. $\sin x=a$

тогда и только тогда, когда

2. a) если $|a|\leqslant 1,$ то существует $n\in\mathbb{Z},$ что $x=(-1)^n\arcsin a + n\pi$ и
2. б) если $|a|>1,$ то $x\in\varnothing.$

(Оффтоп)

Если так не пишут в учебниках, то это следствие того, что школа - трибуна для учителя в большей степени.

 
 
 
 Re: Ткачук, Упражнения для уровня 3
Сообщение09.09.2023, 14:57 
Аватара пользователя
"Доказать" формулы можно подстановкой. Убеждаемся, что получаются верные равенства.

 
 
 
 Re: Ткачук, Упражнения для уровня 3
Сообщение09.09.2023, 18:03 
Аватара пользователя
ilyabelykh в сообщении #1608544 писал(а):
Разве они не следуют просто из определений аркфункций?
Да, нужно воспользоваться определением аркфункций, учесть их область определения, и распространить решения на всю числовую ось (все периоды соответствующей тригонометрической функции).
TOTAL в сообщении #1608552 писал(а):
"Доказать" формулы можно подстановкой. Убеждаемся, что получаются верные равенства.
Не совсем. Так мы докажем, что эти формулы являются решениями соответствующих уравнений, но это не доказывает, что других решений нет.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group