При каком n: a^5 = a (mod n)?

[Alexander__]

При каком максимальном $n \in \mathbb{N}$: $a^5 \equiv a \pmod{n}$, $a \in \mathbb{Z}$.

---

По определению верно, что $a^5-a\equiv 0 \pmod{n} $.

$a^5-a$ раскладывается на множители: $a^5-a=a(a-1)(a+1)(a^2+1)$. Одно из чисел $a$, $(a-1)$ или $(a+1)$ кратно 3, поэтому $a^5\equiv a \pmod{n} $.

Есть предположение, что $a^5-a$ кратно 5 по малой теореме Ферма. Но ведь верно что, из малой теоремы Ферма обратно не следует, что $a \mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}} 5$?

И я не понимаю чему ещё может быть кратно $a^2+1$. И есть ли вообще какие-то ещё кратные делители?

[dgwuqtj]

Вам ведь нужно, чтобы это было при всех $a$ сразу? Можно взять первые несколько $a$ (скажем, от $0$ до $7$) и посмотреть, на что будет делиться $a^5 - a$. Это даст оценку сверху на $n$. Ну а потом уже доказывать, что какое-то конкретное $n$ подходит.

[gris]

А разве не $n=a^5-a$ и будет максимальным для любого, но конкретно этого $a$
А $a^5-a$ даже на $10$ делится

[green5]

И на 30 аналогично

[mathematician123]

Недавно даже в более общей формулировке обсуждалось.

[Alexander__]

Оказывается, постановка задачи подразумевала следующее: $\exists n \forall a : a^5 \equiv a \pmod{n}$. Тогда из $a=2$ следует, что $n \leq 30$. Ну и дальше, пользуясь выкладками про разложение на множители, можно найти чему равно $n$.