НОД значений x^n-x в целых точках

[AmateurAlgebraist]

Известно ли что-нибудь о наибольшем общем делителе "двусторонней последовательности" $\{k^n-k | k \in \mathbb{Z}\}$ при произвольно выбранном нечётном натуральном $n$, большем 6? К какой области относятся такие результаты, по каким словам их лучше искать?

[svv]

Не обязательно рассматривать двустороннюю последовательность, потому что
$(-k)^n-(-k)=-(k^n-k)$ при нечётном $n$, и
$\gcd(a, b)=\gcd(a, -b)=\gcd(-a, b)$

[mathematician123]

Если правильно понял, необходимо найти максимальное натуральное $d$, такое что $d \mid k^n - k$ при любом целом $k$. Можно доказать, что $d = \prod_{i = 1}^{l}p_i$, где $p_i$ - простые числа, для которых $p_i - 1 \mid n - 1$.

[gris]

Я слышал, что есть табличка
Ой, добавляю контрольный по формуле mathematician123
n= 7 gcd=42 = Prod [2,3,7]
n= 9 gcd=30 = Prod [2,3,5]
n=11 gcd=66 = Prod [2,3,11]
n=13 gcd=2730 = Prod [2,3,5,7,13]
n=15 gcd=6 = Prod [2,3]
n=17 gcd=510 = Prod [2,3,5,17]
n=19 gcd=798 = Prod [2,3,7,19]
n=21 gcd=330 = Prod [2,3,5,11]
n=23 gcd=138 = Prod [2,3,23]
n=25 gcd=2730 = Prod [2,3,5,7,13]
n=27 gcd=6 = Prod [2,3]
n=29 gcd=870 = Prod [2,3,5,29]
n=31 gcd=14322 = Prod [2,3,7,11,31]

[AmateurAlgebraist]

Спасибо за оперативные ответы! Впопыхах составлял условие, заметил -1 для чётных показателей и выкинул их, но не заметил то, о чём написал svv.
mathematician123, да, это как раз то, что мне нужно. Не ожидал, что есть результат такого вида, а эти числа ещё и бесквадратные все. В какой книжке можно посмотреть доказательство?

[mathematician123]

AmateurAlgebraist
Доказательство я сам придумал. Если взять $k = p$ для простого $p$, то $k^n - k$ не делится на $p^2$. Значит, $d$ свободно от квадратов. Далее нужно понять для каких $p$ сравнение

$$k^n \equiv k \pmod{p}$$

верно при любом $k$. Если $k$ делится на $p$, то это сравнение верно. А если $k$ не делится на $p$, то можно сократить:

$$k^{n - 1} \equiv 1 \pmod{p}$$

Из существования первообразных корней по любому простому модулю следует, что это сравнение всегда разрешимо тогда и только тогда, когда $p - 1 \mid n - 1$.

Ещё есть две последовательности на OEIS: A027760 и A027642.

[AmateurAlgebraist]

Действительно. Ещё раз большое спасибо!