Малые колебания

[Norma]

Две одинаковые материальные точки массой $m$ каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину $3l$ , расстояние между точками равно $l$, натяжение нити равно $P$. Найти собственные частоты и закон движения точек при малых поперечных колебаниях системы. Массой нити и силой тяжести материальных точек пренебречь.

Пусть первая точка сместится на $x$, а вторая на $y$. Тогда кинетическая энергия системы: $T=\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$. Возникли проблемы с потенциальной энергией. Как я понимаю, на материальные точки действуют силы упругости $P$. Потенциальная энергия грузов: $V_1=\frac{k_1 \Delta l_1^2}{2}$, $V_2=\frac{k_2 \Delta l_3^2}{2}$. Сила упругости по определению равна: $P=k_1 \Delta l_1$, $P=k_1 \Delta l_2$. Но не совсем понятно, как выразить натяжения нитей, возможно $\Delta l_1=3l+x$, $\Delta l_2=3l-y$

[realeugene]

Нить натянута - изменением её натяжения при удлинении пренебрегите. Удлинение квадратично по поперечному смещению, а вот углы линейны.

[svv]

Norma
Вот какая ситуация тут имеется в виду и какой подход нужен. Понятно, что у нити есть какой-то коэффициент жесткости $k$. Так как натяжение нити $P$, в положении равновесия (когда мат.точки не смещены) нить уже деформирована, а именно растянута на $\frac P k$.

Однако мат.точки по условию смещаются поперечно нити. В первом порядке это не приводит к её дополнительному удлинению. Поэтому сила натяжения каждого участка по-прежнему $P$. А равнодействующая сила на каждую мат.точку обусловлена лишь тем, что при её смещении действующие на неё со стороны каждого участка нити силы уже не противоположны по направлению.

Можете для простоты рассмотреть сначала случай одной мат.точки и двух участков нити. Вы увидите, что коэффициент жёсткости нити $k$ не входит в выражение для потенциальной энергии. Если Вы поняли идею, скажите, чему равна потенциальная энергия в этом случае?

-- Вт авг 29, 2023 00:04:17 --

(Оффтоп)

realeugene, как обычно: набирал ответ, увидел, что уже ответили, жалко стало выбрасывать.

[realeugene]

(Оффтоп)

svv, короткий ответ набирать быстрее

[Norma]

svv
Допустим, точка находится посередине нити длиной $2l$. Пусть материальная точка сдвинулась вверх на $x$, тогда на нее будет действовать возвращающая сила $2P \cos \varphi$. $x$ - это смещение по вертикали(удлинение пружины), в горизонтальном направлении нет удлинения.

[EUgeneUS]

Norma в сообщении #1607013 писал(а):

действовать возвращающая сила $2P \cos \varphi$. $x$ - это смещение по вертикали(удлинение пружины), в горизонтальном направлении нет удлинения.

Неверно.

[realeugene]

Norma в сообщении #1607013 писал(а):

тогда на нее будет действовать возвращающая сила $2P \cos \varphi$

Что такое $\varphi$?

Сначала решите задачу с одной материальной точкой посредине нити. Потом подумайте без расчётов, какие будут моды малых поперечных колебаний двух одинаковых точек в вашей задаче? Проверьте свою догадку расчётом. Если хотите увидеть, откуда это всё получается, задайте некоторую жесткость нити, распишите общий случай движения точек с учётом общего случая положения точек и линейной упругости нити, линеаризуйте вблизи положения равновесия и найдите моды колебаний. Придётся повозиться, но один раз такое проделать стоит для тренировки интуиции и понимания, зачем нам полезны симметрии?

Какова размерность фазового пространства вашей задачи? Задача трёхмерная.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1607048 писал(а):

Задача трёхмерная.

Однако:

Norma в сообщении #1606995 писал(а):

Пусть первая точка сместится на $x$, а вторая на $y$.

Или $x$ и $y$ двумерные векторы? Чего-то я условие не догоняю.

Norma . Точки могут колебаться сугубо вдоль линий (которые лежат в одной плоскости)? Или вдоль плоскостей (перпендикулярных исходному положению нити)?

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1607112 писал(а):

Однако:
....

Это уже попытка решения со стороны ТС.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1607112 писал(а):

Или $x$ и $y$ двумерные векторы? Чего-то я условие не догоняю.

Вы цитируете попытки решения, а не условия задачи. Наш мир трёхмерен, как и нити.

[Norma]

Можно выписать координаты левой точки: $(a,x_1,y_1)$ и координаты левого конца $(0,0,0)$, найти длину нити при выведении из положения равновесия, а затем вычесть начальную длину нити $a_0$(так мы найдем $\Delta l_1$). Тогда потенциальная энергия $\frac{k \Delta l_1^2}{2}$, причем $k=\frac{P}{3(a-a_0)}$

В потенциальная энергии будет фигурировать величина $a_0$, которая неизвестна.

[svv]

Norma
Уже было объяснено дважды, что при поперечном смещении материальных точек дополнительное удлинение нити — величина высшего порядка малости по отношению к самому смещению. Этим дополнительным удлинением, а потому и дополнительным натяжением, надо пренебречь.

Хоть в этой задаче сила тяжести не учитывается и исходное направление нити безразлично, для простоты объяснения будем считать, что нить в положении равновесия направлена вертикально, а смещения точек горизонтальны. Так вот, при малых смещениях точек угол между каждым участком нити и вертикалью линейно зависит от самих смещений. И равнодействующая сила в первом приближении обусловлена не дополнительным удлинением, а тем, что направления двух участков нити, смежных с материальной точкой, различны (при том, что каждый тянет с силой, по модулю равной $P$).

[realeugene]

Norma в сообщении #1607408 писал(а):

Тогда потенциальная энергия $\frac{k \Delta l_1^2}{2}$

Для преднатянутой нити это неверно.

Norma в сообщении #1607408 писал(а):

$(a,x_1,y_1)$

В трёхмерном случае первая координата тоже переменная.

Жесткость нити задайте какую-то. Из уравнения для поперечных колебаний она в конце концов исчезнет, поэтому, её точная величина не интересна. Как и длина нити в нерастянутом состоянии.

-- 31.08.2023, 15:09 --

svv в сообщении #1607410 писал(а):

Уже было объяснено дважды, что при поперечном смещении материальных точек дополнительное удлинение нити — величина высшего порядка малости по отношению к самому смещению.

Человек этого не видит. Посчитает - увидит.

[Norma]

svv
Я не очень понимаю, что значит дополнительное удлинение. То есть мы считаем, что нить всегда натянута на одну и ту же величину $\frac{P}{k}$ даже при поперечном смещении точек?

-- 06.09.2023, 18:14 --

realeugene
Но это же общая формула для потенциальной энергии пружины.
Точки перемещаются поперечно нити, поэтому первая координата неизменна.

[svv]

Norma

Пусть длина нити в натянутом состоянии $2$ метра. Поскольку сила натяжения нити $P\neq 0$, нить уже деформирована (растянута) на $P/k$. Одна материальная точка находится посередине, деля нить на два участка длиной $1$ метр. Повторюсь, что это уже их длина с учётом деформации. Если немного сместить материальную точку, длина каждого участка ещё немного изменится, и меня интересует именно это дополнительное изменение длины. Рассмотрим два случая.

Если сместить эту точку на $1$ миллиметр в продольном направлении, то один участок удлинится на $1$ миллиметр, а второй укоротится на $1$ миллиметр, это понятно.

А если вместо этого сместить точку на $1$ миллиметр в поперечном направлении, то оба участка немного удлинятся, но насколько? Что Вам говорит интуиция? Что показывает расчёт?