Диагонализация матрицы 3 ранга

[В. Войтик]

Добрый день. Я имею слагаемое в энергии вида $\lambda_{ikl}x_i x_k x_l$. Нельзя ли вот это всё привести к виду

$$\sum_{i,k,l}\lambda_{ikl}x_i x_k x_l=\sum_i \lambda_{(i)}[x_{i}]^3$$

? И если это сделать можно, то как это делается правильно математически? Как это делается для матрицы второго ранга я знаю, но тут матрица третьего ранга...

[abrogolat]

Я, честно говоря, пока не до конца осознал (может Вы поймете вывод с подсчетом степеней свободы), что здесь написано, но на 3-ей странице в пункте 3. DIAGONALIZATION ISSUES говорится, что далеко не все симметричные тензоры ранга выше 2-х диагонализуюся в той же самой размерности. Зато предлагают увеличить размерность.

[Утундрий]

Наверняка, кроме кубического имеется также и квадратичное слагаемое, поэтому первое нужно преобразовывать так, чтобы не разрушить "красивый" вид второго. Что можно делать весьма ограниченными матрицами. Так что вряд ли получится так уж прямо что-то диагональное, а скорей некий зоопарк "канонических" форм.

[В. Войтик]

Спасибо большое за ваш ответ. Скажите, а разве нельзя для диагонализации действовать постепенно? То есть на первом шаге диагонализируем только два индекса (k,l) с помощью уравнения

$$\det(\lambda_{i,kl}-\lambda_{i,(k)}\delta_{kl})=0$$

(1)
Получаем несимметричную матрицу $\lambda_{i,(k)}$. Затем на втором шаге делаем её симметричной и выкидываем антисимметричную часть

$$\lambda_{ik}=\frac{1}{2}(\lambda_{i,(k)}+\lambda_{k,(i)})$$

(2)
и диагонализируем на третьем шаге уже её

$$\det(\lambda_{ik}-\lambda_{(i)}\delta_{ik})=0$$

(3).

-- Пт июл 28, 2023 08:50:07 --

Утундрий в сообщении #1602904 писал(а):

Наверняка, кроме кубического имеется также и квадратичное слагаемое, поэтому первое нужно преобразовывать так, чтобы не разрушить "красивый" вид второго. Что можно делать весьма ограниченными матрицами. Так что вряд ли получится так уж прямо что-то диагональное, а скорей некий зоопарк "канонических" форм.

Да, вы правы. Но ведь выражение $\lambda_{ikl}x_i x_k x_l$ есть инвариант и не зависит от выбора системы координат.

[Утундрий]

Величина, конечно, инвариант, но вас же не величина интересует, а форма. Манипуляции с индексами вообще не понял, лямбда по смыслу полностью симметрична (всё несимметричное съедается сверткой с тремя иксами).

[В. Войтик]

Утундрий в сообщении #1602908 писал(а):

Величина, конечно, инвариант, но вас же не величина интересует, а форма.

Меня интересует величина и возможность её представления в виде

$$\sum_{i,k,l}\lambda_{ikl}x_i x_k x_l=\sum_i \lambda_{(i)}[x_{i}]^3$$

. Если в одной системе координат выполняется такое представление, то поскольку она инвариантна должно выполняться и в другой системе координат. Разве это не так?

Утундрий в сообщении #1602908 писал(а):

Манипуляции с индексами вообще не понял, лямбда по смыслу полностью симметрична (всё несимметричное съедается сверткой с тремя иксами).

После решения (1) получившаяся матрица $\lambda_{i(k)}$ является в общем случае несимметричной.

-- Пт июл 28, 2023 10:30:44 --

Да, это неверно. Хорошо, но ведь ничего не препятствует решению уравнений (1)-(3) и, таким образом, представлению

$$\sum_{i,k,l}\lambda_{ikl}x_i x_k x_l=\sum_i \lambda_{(i)}[x_{i}]^3$$

? Это равенство будет выполняться только в какой-то одной системе координат?

[Утундрий]

В. Войтик в сообщении #1602916 писал(а):

возможность её представления в виде

Именно это я и назвал "формой".

И вообще, напишите выражение для энергии целиком.

[svv]

В. Войтик в сообщении #1602916 писал(а):

Меня интересует величина и возможность её представления в виде

$$\sum_{i,k,l}\lambda_{ikl}x_i x_k x_l=\sum_i \lambda_{(i)}[x_{i}]^3$$

. Если в одной системе координат выполняется такое представление, то поскольку она инвариантна должно выполняться и в другой системе координат. Разве это не так?

Поясните, что записано в правой части. Коэффициенты $\lambda$ те же, что в левой, или нет? Если те же, почему нумеруются одним индексом? Что значит $(i)$?
Если пересчитанные к другой системе координат, почему нет никаких опознавательных знаков (прим, бар, тильда, другая буква)?

-- Пт июл 28, 2023 11:31:04 --

Скорее всего, Вы спрашиваете о том, можно ли кубическую форму
$\lambda_{ijk} x_i x_j x_k$,
где $\lambda_{ijk}$ симметрична по всем парам индексов, привести к виду
$\mu_i (y_i)^3,$
где связь между наборами переменных $x$ и $y$ линейна.

[Утундрий]

svv
Очевидно, да.

Но задача здесь, похоже, не столько математическая, сколько физическая.

[svv]

В $n$-мерном пространстве у симметричного тензора третьего ранга $\frac {n(n+1)(n+2)}{6}$ независимых компонент. Из них $n$ "чисто диагональные" (приветствуются), а остальные
$\dfrac {n(n+1)(n+2)}{6}-n=\dfrac {n(n-1)(n+4)}{6}$
надо убить преобразованием координат. Быстро растёт, зараза, кубически.

Линейное преобразование координат $x_i=c_{ij}y_j$ задаётся набором $n^2$ независимых коэффициентов. Это Ваши рычаги управления. Вопрос: а хватит ли их, чтобы убрать все недиагональные компоненты тензора?

$\begin{tabular}{c|c|c} $n$ & $\frac {n(n-1)(n+4)}{6}$ & $n^2$ \\\hline $1$ & $0$ & $1$ \\$2$ & $2$ & $4$ \\$3$ & $7$ & $9$ \\$4$ & $16$ & $16$ \\$5$ & $30$ & $25$ \end{tabular}$

Вывод: если у Вас $n\leqslant 4$, Вам повезло.

[Утундрий]

Есть ещё один финт ушами, но я подожду реакции ТС.

[В. Войтик]

Утундрий в сообщении #1602935 писал(а):

И вообще, напишите выражение для энергии целиком.

Это к теме не относится. Какой смысл говорить о физике в форуме по математике? Прошу прощения за некоторую скрытность, но действительно, пока не стоит говорить о физической задаче подробнее.

svv в сообщении #1602950 писал(а):

Поясните, что записано в правой части. Коэффициенты $\lambda$ те же, что в левой, или нет? Если те же, почему нумеруются одним индексом? Что значит $(i)$?
Если пересчитанные к другой системе координат, почему нет никаких опознавательных знаков (прим, бар, тильда, другая буква)?

Коэффициенты $\lambda_{(i)}$ как-то связаны с тензором $\lambda_{ikl}$. Индекс (i) нумерует главные значения тензора.

svv в сообщении #1602950 писал(а):

Скорее всего, Вы спрашиваете о том, можно ли кубическую форму
$\lambda_{ijk} x_i x_j x_k$,
где $\lambda_{ijk}$ симметрична по всем парам индексов, привести к виду
$\mu_i (y_i)^3,$
где связь между наборами переменных $x$ и $y$ линейна.

Да, вы правильно поняли суть. Но, видимо нужно уточнение, что эта связь ещё и ортогональная, то есть представляет собой поворот в пространстве.

-- Пт июл 28, 2023 19:05:53 --

Утундрий в сообщении #1602951 писал(а):

svv
Но задача здесь, похоже, не столько математическая, сколько физическая.

Задача относится к физике, но сводится к линейной алгебре.

-- Пт июл 28, 2023 19:08:42 --

svv в сообщении #1602956 писал(а):

В $n$-мерном пространстве у симметричного тензора третьего ранга $\frac {n(n+1)(n+2)}{6}$ независимых компонент. Из них $n$ "чисто диагональные" (приветствуются), а остальные
$\dfrac {n(n+1)(n+2)}{6}-n=\dfrac {n(n-1)(n+4)}{6}$
надо убить преобразованием координат. Быстро растёт, зараза, кубически.

Линейное преобразование координат $x_i=c_{ij}y_j$ задаётся набором $n^2$ независимых коэффициентов. Это Ваши рычаги управления. Вопрос: а хватит ли их, чтобы убрать все недиагональные компоненты тензора?

$\begin{tabular}{c|c|c} $n$ & $\frac {n(n-1)(n+4)}{6}$ & $n^2$ \\\hline $1$ & $0$ & $1$ \\$2$ & $2$ & $4$ \\$3$ & $7$ & $9$ \\$4$ & $16$ & $16$ \\$5$ & $30$ & $25$ \end{tabular}$

Вывод: если у Вас $n\leqslant 4$, Вам повезло.

Меня интересует n=3, но тензоры 3 и 4 ранга.
Нет. навеорное ничего не получится. Если это поворот, то он характерзуется только 3 числами и их не хватит для задания независимых компонент тензора

[KhAl]

Можно диагонализовать $x^2y$? Вроде нет.

[В. Войтик]

svv в сообщении #1602956 писал(а):

В $n$-мерном пространстве у симметричного тензора третьего ранга $\frac {n(n+1)(n+2)}{6}$ независимых компонент. Из них $n$ "чисто диагональные" (приветствуются), а остальные
$\dfrac {n(n+1)(n+2)}{6}-n=\dfrac {n(n-1)(n+4)}{6}$
надо убить преобразованием координат. Быстро растёт, зараза, кубически.

Линейное преобразование координат $x_i=c_{ij}y_j$ задаётся набором $n^2$ независимых коэффициентов. Это Ваши рычаги управления. Вопрос: а хватит ли их, чтобы убрать все недиагональные компоненты тензора?

$\begin{tabular}{c|c|c} $n$ & $\frac {n(n-1)(n+4)}{6}$ & $n^2$ \\\hline $1$ & $0$ & $1$ \\$2$ & $2$ & $4$ \\$3$ & $7$ & $9$ \\$4$ & $16$ & $16$ \\$5$ & $30$ & $25$ \end{tabular}$

Вывод: если у Вас $n\leqslant 4$, Вам повезло.

Поскольку, видимо, я чего-то недопонимаю мой вопрос снимается. Но всё-таки, svv, ради любопытства, ответьте как решается ваша задача?

[Утундрий]

Поскольку автор "лучше знает, куда относится и к чему сводится" его задача, помогать ему - излишне.