Ошибочная параметризация Пифагоровых последовательностей.

[Alek]

На сегодняшний день, Пифагоровы четвёрки, как и большие n-наборы Пифагоровых чисел, рассматриваются в математике как потомки Пифагоровых троек, что логично и по сути верно.
То есть: входящие в набор элементы, подразумеваются как натуральные числа. И в геометрической интерпретации, это разумеется прямоугольные треугольники, длины сторон которых, выражены именно в натуральных величинах.

Однако, возможно в силу отсутствия в современной математике адекватного и универсального инструмента для сепарации ошибок от нормы, хотя бы очевидных, то такой отбор, происходит скорее спорадически, нежели регулярно.

Применительно к поднятой теме: к Пифагоровым четвёркам, по какой-то странной причине, причисляются вообще любые четвёрки натуральных чисел, где сумма квадратов первых трёх, равна квадрату четвёртого. Но если этого было достаточно для троек, то для больших наборов, всё не так.

При ближайшем рассмотрении выясняется, что геометрические отображения таких наборов чисел на прямоугольные треугольники, и даже простой арифметический подсчёт – тут же выявляют первую гипотенузу с ненатуральной величиной.

Известно, что Пифагорова тройка, геометрически – один треугольник, Пифагорова четвёрка – система уже из двух треугольников, где гипотенуза первого треугольника, служит первым катетом второму треугольнику.

Но к примеру – в арифметической четвёрке $1, 2, 2 ,3$, которая причислена наукой к Пифагоровой, первый катет – единица, второй катет – двойка, а вот гипотенуза между ними, никаким образом не натуральная.
Это обстоятельство, как в данной арифметической четвёрке, так и во многих других, не позволяет причислить её к Пифагоровой.

Я пока не нашёл в сети адекватного объяснения этой слишком уж явной ошибке, принятой вполне официально как норма.
Например в Википедии, в соответствующей статье, есть реальные ссылки на вполне легитимные научные работы, где утвержаются подобные вещи. Даже с привлечением кватернионов, что впрочем не добавляет истинности на самом деле.

Если предположить, что этакое правило принято по соглашению, как нередко бывает в науке, то вряд ли оно уместно в данном случае, поскольку последовательность Пифагоровых четвёрок, где у треугольников все катеты и гипотенузы натуральные, известна, где каждая четвёрка, проверяма вполне тривиальными расчётами.

Так выглядят арифметические четвёрки, сегодня причисляемые наукой к Пифагоровым:

$(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17)$,
$(1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23)$,
$(9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29)$,
$(12,16,21,29)$

Легко видеть и подсчитать, что большая часть из них, Пифагоровым не отвечают, в особенности, в геометрическом представлении.

А вот так выглядят именно Пифагоровы четвёрки, начиная с самой первой, и по порядку, без пропусков:

$(3, 4, 12, 13) ; (4, 3, 12, 13) ; (5, 12, 84, 85) ; (6, 8, 24, 26) ; (7, 24, 312, 313); (7, 24, 60, 65) ; (8, 15, 144, 145); (8, 6, 24, 26)$ ;
$(9, 40, 840, 841); (9, 12, 112, 113) ; (9, 12, 36, 39) ; (9, 12, 20, 25); (9, 12, 8, 17)$ и так далее.

Проблема видится ещё в том, что вскоре нам предоставят и общие арифметические пятёрки, и шестёрки, и прочие наборы, так и выдавая их все – за Пифагоровы, по инерции. Предполагаю, что такие материалы, невзирая на их официальный статус, как минимум не годятся для учёбы.

Касались бы они неких неоднозначных и архисложных вещей – то ещё ладно, бывает. Ну ошиблись, ну потом лет через 'дцать поправили как водится, или вообще – опровергли. Но с такой элементарщиной, думаю ошибки плодить не следует.

[Null]

Alek в сообщении #1602351 писал(а):

Но к примеру – в арифметической четвёрке $1, 2, 2 ,3$, которая причислена наукой к Пифагоровой, первый катет – единица, второй катет – двойка, а вот гипотенуза между ними, никаким образом не натуральная.

Это обобщение пифагоровых троек на трехмерное пространство. Параллелепипед с целыми сторонами и диагональю. Пифагорова четвёрка.

Alek в сообщении #1602351 писал(а):

А вот так выглядят именно Пифагоровы четвёрки, начиная с самой первой, и по порядку, без пропусков:

$(3, 4, 12, 13) ; (4, 3, 12, 13) ; (5, 12, 84, 85) ; (6, 8, 24, 26) ; (7, 24, 312, 313); (7, 24, 60, 65) ; (8, 15, 144, 145); (8, 6, 24, 26)$ ;
$(9, 40, 840, 841); (9, 12, 112, 113) ; (9, 12, 36, 39) ; (9, 12, 20, 25); (9, 12, 8, 17)$ и так далее.

Вы требуете чтобы $a^2+b^2=t^2$ и $a^2+b^2+c^2=d^2$, где $a,b,c,d,t$ натуральные? Лучше бы вы выписали это явно.

[Лукомор]

Alek в сообщении #1602351 писал(а):

Известно, что Пифагорова тройка, геометрически – один треугольник, Пифагорова четвёрка – система уже из двух треугольников, где гипотенуза первого треугольника, служит первым катетом второму треугольнику.

Откуда известно, что Пифагорова четверка - система из двух треугольников?
Ссылочку можете дать?

[Alek]

Null в сообщении #1602355 писал(а):

Alek в сообщении #1602351 писал(а):

Вы требуете чтобы $a^2+b^2=t^2$ и $a^2+b^2+c^2=d^2$, где $a,b,c,d,t$ натуральные? Лучше бы вы выписали это явно.

Не совсем так.
Дело в том, что абсолютно все арифметические четвёрки натуральных чисел, где сумма квадратов первых трёх равна квадрату четвёртого – включая разумеется и Пифагоровы четвёрки – и так полностью соответствуют представленным Вами соотношениям, а именно:

$a^2+b^2+c^2=d^2$, где $a,b,c,d,t$ натуральные.

Однаҡо, как уже было сказано, арифметические четвёрки, такие как $1, 2, 2, 3$ – не являются Пифагоровыми, несмотря на то, что вполне могут быть посчитаны посредством вышеуказанного выражения.

Причины этому, так же были упомянуты явным образом.
Так, при проверке четвёрки $1, 2, 2, 3$, выясняется, что первый катет первого прямоугольного треугольника, равен единице. Второй катет – двум.
По формуле $x^2+y^2=z^2$, получается иррациональная величина гипотенузы:$\sqrt 5$, в первом из двух взаимосвязанных треугольниках.

Одно только это обстоятельство, исключает набор $1, 2, 2, 3$$$ из множества Пифагоровых.
Аналогичным элементарным подсчётом, проверяется любая натуральная четвёрка, из чего автоматически следует вывод: относится ли она к Пифагоровой, или нет.

-- 25.07.2023, 16:19 --

Лукомор в сообщении #1602357 писал(а):

Alek в сообщении #1602351 писал(а):

Известно, что Пифагорова тройка, геометрически – один треугольник, Пифагорова четвёрка – система уже из двух треугольников, где гипотенуза первого треугольника, служит первым катетом второму треугольнику.

Откуда известно, что Пифагорова четверка - система из двух треугольников? Ссылочку можете дать?

Из теоремы Пифагора, и теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда – здесь ещё наглядней вывод формулы диагонали.

[Null]

Alek в сообщении #1602358 писал(а):

Не совсем так.

Тогда непонятно что вы хотите. Напишите формулами.

[wrest]

Квадрат длины n-мерного параллелепипеда равен сумме квадратов длин сторон. В случае двумерного, имеем прямоугольник. Вот и всё

[Alek]

Null в сообщении #1602359 писал(а):

Alek в сообщении #1602358 писал(а):

Не совсем так.

Цитата:

Тогда непонятно что вы хотите. Напишите формулами.

Формула 1: $x^2+y^2=z^2$
Формула 2: $z^2+v^2=w^2$

Цитата:

Квадрат длины n-мерного параллелепипеда равен сумме квадратов длин сторон. В случае двумерного, имеем прямоугольник. Вот и всё

Так. И?

[Лукомор]

Alek в сообщении #1602358 писал(а):

Из теоремы Пифагора, и теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда

Ошибка Ваша заключается в том, что Вы используете хорошо известный термин не по назначению.
Известно, что абсолютно все арифметические четвёрки натуральных чисел, где сумма квадратов первых трёх равна квадрату четвёртого имеют название "Пифагоровы четвёрки".

Вы рассматриваете некоторое подмножество множества Пифагоровых четверок, ограниченное некоторыми дополнительными условиями, в частности:
$a^2+b^2=t^2$ и $t^2+c^2=d^2$
где t - натуральное число.
Имеете полное право такие четверки рассматривать, но не имеете права утверждать,
что только Вашими четверками исчерпывается множество Пифагоровых четверок.
В определении Пифагоровых четверок никаких дополнительных условий нет.


-- Вт июл 25, 2023 08:57:16 --

Alek в сообщении #1602351 писал(а):

Известно, что Пифагорова тройка, геометрически – один треугольник, Пифагорова четвёрка – система уже из двух треугольников, где гипотенуза первого треугольника, служит первым катетом второму треугольнику.

Кстати, уже простой подсчет переменных:$a, b, c, d, t$ показывает, что Вы рассматриваете не четверку, а пятерку натуральных чисел, которую более чем странно было бы называть "Пифагоровой четверкой."
Пифагорова четверка - это никак уж не система двух треугольников.
Это просто четырехугольник, в котором сумма квадратов трех меньших сторон равна квадрату бОльшей стороны.

[Alek]

Лукомор в сообщении #1602363 писал(а):

Alek в сообщении #1602358 писал(а):

Из теоремы Пифагора, и теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда

Ошибка Ваша заключается в том, что Вы используете хорошо известный термин не по назначению.

Цитата:

Известно, что абсолютно все арифметические четвёрки натуральных чисел, где сумма квадратов первых трёх равна квадрату четвёртого имеют название "Пифагоровы четвёрки".

И я об этом. Действительно – имеют. И как раз в этом – заключена ошибка. Далеко не все такие четвёрки – Пифагоровы.

Цитата:

Вы рассматриваете некоторое подмножество множества Пифагоровых четверок...

Неверно. Рассматриваю всё мңожество четвёрок, где часть их – НЕ Пифагоровы.

Цитата:

...ограниченное некоторыми дополнительными условиями, в частности:
$a^2+b^2=t^2$ и $t^2+c^2=d^2$

где t - натуральное число.

Здесь верно.

Цитата:

Имеете полное право такие четверки рассматривать, но не имеете права утверждать..

Право утверждать – имею, поскольку Пифагоровы наборы, начиная с троек – прямо подразумевают натуральные стороны треугольников. Что в большинстве четвёрок – не так.

Цитата:

...что только Вашими четверками исчерпывается меножество Пифагоровых четверок.
В определении Пифагоровых четверок никаких дополнительных условий нет.

Неверно. Во-первых – не «моих», а Пифагоровых, строго по принадлежности сторон треугольников – именно к натуральным, и не иначе.
В определениях четвёрок, есть указания на то, что они потомки троек, как минимум. Даже в Википедии, вроде бы такое видел.
Кроме того, Пифагоровы тройки – о натуральных величинах сторон треугольниов.
Четвёрки, фактически считаются последовательно – именно тройками. Пифагоровыми.
Данное обстоятельство, обойти никак не удастся.

Цитата:

Кстати, уже простой подсчет переменных:$a, b, c, d, t$ показывает, что Вы рассматриваете не четверку, а пятерку натуральных чисел, которую более чем странно было бы называть "Пифагоровой четверкой."

Неверно. Первая гипотенуза, как и любая другая гипотенуза – в левой части любого набора – не пишется, только поледняя гипотенуза, после знака равно.
Более чем странно, читать Ваш вывод об этом.

Смотрите:
первый треугольник – $x^2+y^2=z^2$, где $z^2$ - это уже сумма двүх квадратов катетов.
Понимаете?

В четвёрке, сначала рисуем суммы катетов. $x^2+y^2+v^2=w^2$, Вы бы хотели поместить туда ещё и гипотенузу?
Если всё-таки желаете поставить первую гипотенүзу, то пожалуйста, но превратите выражение уже в тройку: $z^2+v^2=w^2$.
Вы или записываете сумму катетов, или её результат – гипотенузу, одновременно нельзя, арифметика не позволит))

Цитата:

Пифагорова четверка - это никак уж не система двух треугольников.

Неверно.

Цитата:

Это просто четырехугольник, в котором сумма квадратов трех меньших сторон равна квадрату бОльшей стороны.

Интересно. Фактически верно, хоть далеко и не вҫегда так.
Но хорошо: пусть будет так, ведь это стандартная фигура, в таких случаях. Только Вы про диагональ почему-то не упомянули.

Итак: как, и чем – по-Вашему отличается «система из двүх прямоугольных треугольниҡов, где гипотенуза первого, служит первым катетом второму треугольнику» – от четырёхугольника, про который Вы вели речь? (ну, ҡроме неупоминания диагонали, разве что).

Не кажется ли Вам, что «система...» – это тоже ... четырёхугольник (как правило)?

[Утундрий]

Что там говаривал Декарт по поводу чисто терминологических споров?

[Alek]

Утундрий в сообщении #1602369 писал(а):

Что там говаривал Декарт по поводу чисто терминологических споров?

Я не помню. А может и не знаю)) Что?..

[Лукомор]

Alek в сообщении #1602367 писал(а):

Не кажется ли Вам, что «система...» – это тоже ... четырёхугольник (как правило)?

Это Вам - кажется.
А я вот нарисовал систему из двух треугольников, и вижу, что там не четыре отрезка, а пять.
И называть эту пятерку четверкой, пусть даже Пифагоровой, мне противно.

-- Вт июл 25, 2023 10:13:08 --

Alek в сообщении #1602367 писал(а):

Только Вы про диагональ почему-то не упомянули.

Потому что Вы почему-то не упомянули про вторую диагональ.
А их - две.
И они не могут быть обе целочисленными.
Отсюда вывод, ПИФАГОРОВЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, у которых четыре стороны и две диагонали - целые числа, таких, что
$a^2+b^2+c^2=d^2$
$a^2+b^2=t^2$
$t^2+c^2=d^2$
$b^2+c^2=u^2$
$a^2+u^2=d^2$
где $t, u$ - диагонали четырехугольника - НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
А раз истинных Пифагоровых треугольников не существует, то и спорить не о чем...

[Alek]

Лукомор в сообщении #1602372 писал(а):

Это Вам - кажется.
А я вот нарисовал систему из двух треугольников, и вижу, что там не четыре отрезка, а пять.
И называть эту пятерку четеркой, пусть даже Пифагоровой, мне противно.

Эмоции, даже если «противно», в математике помогают крайне редко, даже наоборот.

Рисүем первый прямоугольный треугольник, например $3, 4, 5$.
Сколько отрезков? Правильно, три. Считаем: $3^2+4^2=5^2$, делаем вывод: треугольник – Пифагоров, и арифметичеҫкая тройка – Пифагорова.

Считаем из этой тройки – вторую Пифагорову тройку: $5^2+12^2=13^2$.
Смотрим: гипотенуза первого треугольника, $5 $, является катетом второго треугольника.
От гипотенузы (и катета!) $5$, строим второй катет 1$2$, и гипотенузу 13.

Получаем: четырёхугольник, о котором Вы упоминали« Только существенное дополнение: он – с диагональю.
И у него, кстати – есть один прямой угол.

Если строим катет $12$ не в сторону от гипотенузы (катета!) $5$, а навстречу, получаем не четырёхугольник, а прямоугольный треугольник, в который встроен другой пр. треугольник.
Что от этого изменится в четвёрке $3, 4, 12, 13$? Да ничего.

Если построить катет 12 от другого угла, и тоже навстречу, может будет тоже треүгольник в треугольнике, а может и пятиугольник, где один угол «вогнутый», как часто бывает в похожих построениях.

Но опять же: ничего в четвёрке $3, 4, 12, 13$ не изменится.
И совсем не противно, поверьте.

-- 25.07.2023, 18:25 --

Лукомор в сообщении #1602372 писал(а):

Потому что Вы почему-то не упомянули про вторую диагональ.
А их - две.
И они не могут быть обе целочисленными.
Отсюда вывод, ПИФАГОРОВЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, у которых четыре стороны и две диагонали - целые числа, таких, что
$a^2+b^2+c^2=d^2$
$a^2+b^2=t^2$
$t^2+c^2=d^2$
$b^2+c^2=u^2$
$a^2+u^2=d^2$
где $t, u$ - диагонали четырехугольника - НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
А раз истинных Пифагоровых треугольников не существует, то и спорить не о чем...

Про какую ещё вторую диагональ? Про вторую (финальную) гипотенузу, как результат? С чего Вы взяли?
Если строим без фантазии, стандартно, то получаем четырёхугольник, где последняя гипотенуза – НЕ дагональ, а сторона четырёхугольника. Постройте – проверьте.

Цитата:

А раз истинных Пифагоровых треугольников не существует, то и спорить не о чем...

Странно. Что за истинные? Читайте комментарий с примером четвёрки $3, 4, 12, 13$

[mihaild]

Определения не бывают ошибочными. Есть четко определенное множество кортежей, которые называются пифагоровыми четверками. Кому не нравится - может рассмотреть любое другое множество кортежей, и назвать любым еще не занятым словом.
В принципе если будете писать статью или книгу, то можете в ней и альтернативное определение пифагоровых четверок дать, только явно про это напишите. Читатели вам спасибо не скажут, но в принципе так можно. А вот утверждать, что общепринятое определение неправильное - нельзя (перечитайте первую фразу этого поста).

[Alek]

mihaild в сообщении #1602376 писал(а):

Определения не бывают ошибочными.

Безусловно не так. «Камни не падают с неба»©® И следовательно – ошибочные определения, влекут ошибочные логические, и – как выясняется, математические модели. Именно об этом и статья.

mihaild в сообщении #1602376 писал(а):

Есть четко определенное множество кортежей, которые называются пифагоровыми четверками.

Это верно, есть. В данңом чётком определении, к сожалению, встроена ошибка, коя влечёт признание всех четвёрок – Пифагоровыми, что разумеется не так.

mihaild в сообщении #1602376 писал(а):

Кому не нравится - может рассмотреть любое другое множество кортежей, и назвать любым еще не занятым словом.

Вы правы: определения, должны быть не только конвенциональны, но и официальны. Именно по причине ошибочности общепринятого официального определения, появилась статья.
Но она вовсе не о том, что этой статьёй – что-то изменяется официально.
Приведена констатация фаҡта ошибки, и всего лишь.

mihaild в сообщении #1602376 писал(а):

В принципе если будете писать статью или книгу, то можете в ней и альтернативное определение пифагоровых четверок дать, только явно про это напишите. Читатели вам спасибо не скажут, но в принципе так можно. А вот утверждать, что общепринятое определение неправильное - нельзя (перечитайте первую фразу этого поста).

Об этом, в абзаце выше.