2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Напряженность над полосовой доменной структурой (ПДС)
Сообщение20.07.2023, 23:11 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
В разделе Magnetic field above the FGF работы
A.V. Straube and P. Tierno “Synchronous vs. asynchronous transport of a paramagnetic particle in a modulated ratchet potential”, EPL, 103, 2013 (см. в прикреплении)
рассматривается поле над поверхностью «бесконечно толстой плёнки», т.е. в предположении, что толщина $h$ плёнки много больше периода $\lambda$ доменов вдоль оси $x$. При выводе выражения, на мой взгляд (в деталях разобраться не смог), допущены опечатки
Цитата:
The choice $M(x,t) = \pm 2M_s$ ensures that $H_z^{sub} = \pm M_s$.
Должно быть $M(x,t) = \pm M_s/2$.
Цитата:
For the substrate field, we find $H^{sub}(w) = -\partial_w \Phi^{sub}(w) = -(2M_s/\pi) \sum_{n=-\infty}^{\infty} [\ln(w-x_n^+) - \ln(w-x_n^-)]$.
Потерян множитель 2.
В результате вычислений получен результат в два раза больше правильного.

1. Для поверки я нашел решение задачи в виде тригонометрического ряда
$\Delta \psi = 0$, $ \frac {\partial \psi(x,0)} {\partial z} = M(x)/2.$
$$M(x) = \begin{cases}
M_s, & 2kd < x< (2k+1)d;\\
-M_s, & (2k+1)d < x<2(k+1)d.\\
\end{cases}$$Здесь $d = \lambda/2$. Так как функция $M(x)$ периодична с периодом $\lambda$ и нечётная, а решение убывает к нулю при $z \to +\infty$, то оно ищется в виде
$\psi_n(x,z) = A_n\sin\frac {n\pi x}{d}\exp\left(-\frac{ n\pi x }{d}\right)$.
И получается
$\psi(x, z) = -\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \frac {2M_sd}{\pi^2 (2k+1)^2} \sin\frac{(2k+1)\pi x}{d}\exp\left(\frac {(2k+1)\pi z}{d}\right)$.
Отсюда
$H_x = -\frac {\partial \psi} {\partial x} = \frac {2M_s} {\pi} \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac 1 {2k+1} \cos\frac {(2k+1)\pi x}{d} \exp\left(\frac{(2k+1)\pi z}{d}\right)$.

2. Другой способ нахождения поля над ПДС
Можно записать потенциал одного полосового домена конечной длины и высоты $h$
$\psi (r) = \frac {M_s}{4\pi} \int_V \frac {z-z’}{\left( (x-x’)^2 +(y -y’)^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dx’dy’dz’$.
Потом устремить его длину к бесконечности, дифференцированием найти в элементарных функциях $H_x$ и $H_z$ , а затем сложить такие $H_x$ и $H_z$ от разных доменов.
________________________
На рис. ниже для высоты $z = 0.000001$м (1мкм), M = 10000, $\lambda = 0.00001$м (10мкм) и $h = 0.1$м рассчитаны значения вторым способом RHx, RHz (число доменов равно 10), Hz_s — первым способом и Hx_inf, Hz_inf по выражению статьи. Начало отсчета выбрано в центре (первого в способе 2) домена.
Вложение:
Pic1.PNG
Pic1.PNG [ 46.36 Кб | Просмотров: 0 ]
Видно, что значения, найденные по выражению статьи, приблизительно в два раза больше значений, полученных разложением в тригонометрический ряд. После уменьшения величины потенциала статьи в два раза, значения, найденные по способу 2, и значения, найденные по выражению в статье, почти совпадают. Значения, полученные разложением в ряд, совпадают со значениями, найденными по выражению в статье.
Вложение:
Pic2.PNG
Pic2.PNG [ 48.17 Кб | Просмотров: 0 ]
Вопрос: правильно ли указаны мною опечатки в выводе в статье?


Вложения:
Synchronous_vs_Asynchronous_Transport_of_а_Paramagnetic_Particle_2013.pdf [501.28 Кб]
Скачиваний: 43
 Профиль  
                  
 
 Re: Напряженность над полосовой доменной структурой (ПДС)
Сообщение21.07.2023, 08:44 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
GAA в сообщении #1601813 писал(а):
Вопрос: правильно ли указаны мною опечатки в выводе в статье?


Вряд ли кто-то станет с этой двойкой разбираться. Это только для тех, кого этот очень частный вопрос интересует профессионально. Добавлю еще, что это очень похвально, что вы не верите статьям на слово и проверяете то, что там написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Напряженность над полосовой доменной структурой (ПДС)
Сообщение21.07.2023, 21:28 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
В предыдущем моём сообщении находились значения напряженности без внешнего поля. Поэтому $\Delta(t)=0$.

Используя разложение $\psi$ в ряд, можно найти
$H_z = -\frac{\partial \psi}{\partial z} = - \frac{2M} {\pi} \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\frac {(2k+1)\pi x}{d}e^{-\frac {(2k+1)\pi z}{d}}$.

Вводя $H = H_x - iH_y$, можно вычислить сумму ряда $H$
$H = \frac{2M} {\pi} \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac 1{2k+1}e^{\frac {(2k+1)\pi(ix-z)}d} = -\frac M {\pi} \ln \frac {1-u }{1+u}$,
где $u=e^{ \frac{i\pi}{d} w }$. Это выражение совпадает с точность до коэффициента 2 с выражением в статье (если внешние поля отсутствуют и учитывая $d=\lambda/2$).
Вложение:
Pic3.PNG
Pic3.PNG [ 21.1 Кб | Просмотров: 0 ]

Т.е. вопрос об опечатке в статье в краевом условии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group