Характеристики движения планет звездной системы

[Побережный Александр]

Орбиты планет звездной системы.

На примере Солнечной системы рассмотрим характеристики движения планет вокруг звезды (Солнца).

Исходные предположения.
1. В виду больших расстояний размеры планет игнорируем и рассматриваем их, как точки в пространстве.
2. Всю массу звезды (Солнца) поместим в точку, вокруг которой вращаются планеты.

Пусть $m$ - масса данной планеты, $M$ - масса звезды (Солнца).
Закон всемирного тяготения выполняется, $F=G\frac{mM}{r^2}.$
Но по второму закону Ньютона $F=ma$.
Тогда $ma=G\frac{mM}{r^2}$ и следовательно $a=G\frac{M}{r^2}$.
$a$ - это ускорение, которое приобретает планета под воздействием звезды. Это нормальное ускорение и направлено оно к звезде.
Чтобы планета не сближалась со звездой, она должна иметь определенную скорость движения по круговой орбите вокруг звезды.
$a=\frac{v^2}r,$ подставим это выражение вместо ускорения.
$\frac{v^2}r=G\frac{M}{r^2}$ отсюда $v^2r=GM$,
где $G$ - гравитационная постоянная, а $M$ - масса звезды.
Так как масса звезды не меняется, то для всех планет выполняется
$v^2r=\operatorname{const}$, где $\operatorname{const}=GM$

А если вспомнить, что $v=\frac{2\pi r}T$, где $T$ - период обращения планеты, то
$\frac{v^2}r=(\frac{2\pi r}T)^2r=\frac{4\pi^2r^3}{T^2}=GM$
Следовательно, для всех планет, двигающихся по орбитам вокруг звезды, выполняется следующее
$\frac{r^3}{T^2}=\operatorname{const}$, где $\operatorname{const}=\frac{GM}{4\pi^2}$
Следствие: зная характеристики движения планеты по орбите можно узнать массу звезды.

Орбиты планет вокруг звезды представляют из себя элипсы, а расчет велся для круговых орбит.
Формула элипса с началом координат в фокусе имеет вид
$r=\frac{r_0}{1-Ecos(A)}$, $E $- эксцентриситет, $r_0$ - константа
Если угол $A=0$, то $r_a=\frac{r_0}{1-E}$.
$r_a$ - афелий (максимальное удаление от звезды).
Если угол $ A=\pi,$ то $ r_p=\frac{r_0}{1+E}$.
$r_p$ - перигелий (максимальное сближение со звездой).
$r_0=r_a(1-E)$, $r_0=r_p(1+E)$ следовательно $r_0^2=r_ar_p(1-E)(1+E)$ или
$r_0^2=r_ar_p(1-E^2)$ или $ r_0=\sqrt{r_ar_p(1-E^2)}$
$r_0$ - характеристика элиптической орбиты, это константа. Ее и будем брать, как эквивалентный радиус круговой орбиты.

Проверка соответсвия реальных данных для планет Солнечной системы и теоретических умозаключений.
$M_c=1,9885\cdot10^{30} $$kg$ - масса Солнца,
$G=6,6743\cdot10^{-11}$ $\frac{m^3}{c^2kg}$ - гравитационная постоянная,
$\pi=3,1415926536...$
$\frac{GM}{4\pi^2}=3,36179775\cdot10^{18}$ $\frac{m^3}{c^2}$

Расчет для Земли.
Данные брались из Википедии.
$r_n=147098290$ $km$
$r_a=152098232$ $km$
$E=0,01671123$
$T=365,256363$сут$=31558149,5cек$
$r_0=149556483,5$ $km$
$r_0^3/T^2=3,358866\cdot10^{18}$ $m^3/c^2$

Для Меркурия $2,953\cdot10^{18}$ $m^3/c^2$
Для Венеры $3,3612\cdot10^{18}$ $m^3/c^2$
Для Марса $ 3,27455\cdot10^{18}$ $m^3/c^2$
Для Юпитера $3,3437\cdot10^{18} $ $m^3/c^2$
Для Сатурна $3,392595\cdot10^{18}$ $m^3/c^2$
Для Урана $3,366755\cdot10^{18}$ $m^3/c^2$
Для Нептуна $3,37657\cdot10^{18}$ $m^3/c^2$

Результат для Меркурия так отличается от других планет возможно потому, что для него Солнце уже выступает не как точечный объект с массой.
На значения Марса и Сатурна возможно имеет влияние Юпитер, как самая массивная планета.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Астрономия» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Астрономия»
Причина переноса: не указана.

[EUgeneUS]

Побережный Александр в сообщении #1600462 писал(а):

$a$ - это ускорение, которое приобретает планета под воздействием звезды. Это нормальное ускорение и направлено оно к звезде.

Неточно.
$\vec{a}$, конечно, направлено к звезде. Но далеко не всегда это - нормальное ускорение.
Впрочем, ниже рассматриваются эллиптические орбиты. Так что это скорее недочёт изложения.

Но не очень понятно, что же предлагается обсудить?
То, что по параметрам орбиты тела известной массы можно определить массу в центре - это общеизвестный факт.

[Geen]

Побережный Александр в сообщении #1600462 писал(а):

Результат для Меркурия так отличается от других планет возможно потому, что для него Солнце уже выступает не как точечный объект с массой.

Нет. Потому, что бессмысленно пытаться изобретать кривые замены законам Кеплера.

[Утундрий]

Остро недостаёт раздела Помогите раздолбать теорию.

[Евгений Машеров]

Это очень трогательно - видеть, как через четыре с лишним века после Кеплера кто-то пытается переоткрыть его законы. И даже получает правильные формулы для круговой орбиты. Но эллиптичность вызвала затруднения, и Вы попытались свести задачу к круговой, введя "условный радиус" и приравняв его к параметру уравнения эллипса. Однако в третьем законе Кеплера фигурирует большая полуось, равная среднему арифметическому афелия и перигелия. Если эксцентриситет равен нулю, эти величины равны. В противном случае они расходятся тем более, чем больше эксцентриситет. А так как эксцентриситет Меркурия наибольший среди планет (не считая "разжалованного" Плутона) - именно для него Ваш подход даёт наибольшую ошибку.

[Евгений Машеров]

Отношение правильного значения большой полуоси к Вашему параметру равно $\frac 1 {1-E^2}$ и если для Земли $E=0.017$, то для Меркурия уже $E=0.205$, соответственно. А так как большая полуось в третьем законе берётся в кубе, то приходим к объяснению Вашей ошибки порядка 12%.
На самом деле отклонения от законов Кеплера в третьем знаке.

Planet   Semi-major axis (AU)   Period (days)   

Mercury   0.38710   87.9693   7.496
Venus   0.72333   224.7008   7.496
Earth   1   365.2564   7.496
Mars   1.52366   686.9796   7.495
Jupiter   5.20336   4332.8201   7.504
Saturn   9.53707   10775.599   7.498
Uranus   19.1913   30687.153   7.506
Neptune   30.0690   60190.03   7.504

[Geen]

Евгений Машеров в сообщении #1600517 писал(а):

На самом деле отклонения от законов Кеплера в третьем знаке.

Это с поправкой на массу планет?

[Евгений Машеров]

Думаю, на их гравитационное взаимодействие.

[Red_Herring]

Ну и поскольку положение планет меняется со временем, то и параметры "эллипсов" слегка "плывут" (и вообще траектории лишь приближённо замкнутые).

[EUgeneUS]

Евгений Машеров в сообщении #1600517 писал(а):

На самом деле отклонения от законов Кеплера в третьем знаке.

В четвертом вообще-то.
Первая значащая цифра - единицы (первый знак перед запятой).
А отклонение в третьем знаке после запятой (в тысячных).

[Евгений Машеров]

EUgeneUS в сообщении #1600636 писал(а):

В четвертом вообще-то.
Первая значащая цифра - единицы (первый знак перед запятой).
А отклонение в третьем знаке после запятой (в тысячных).

Между Меркурием и Юпитером разность приблизительно одна сотая. Так что в третьем.

[Geen]

Евгений Машеров
так считалось $\frac{T^2}{a^3}(M+m)$?

[Евгений Машеров]

Нет, без учёта массы. Просто отношение квадрата периода к кубу полуоси (умноженное на миллион). Если учитывать массу планеты - получится чуть-чуть точнее. Но ненамного.