Математика для экономистов и айтишников

[Dedekind]

В будущем году буду читать курс "Высшая Математика" для специальности "Разработка программного обеспечения". Программа очень близко (порядок материала тот же, но значительно сокращенный) следует содержанию учебника Кремер Н.Ш. "Высшая математика для экономистов". В офтопике привожу оглавление.

(Оффтоп)

Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.
Матрицы и определители.
Системы линейных уравнений.
Элементы матричного анализа.
Уравнение линии.
Введение в анализ.
Функция.
Пределы и непрерывность.
Дифференциальное исчисление.
Производная.
Приложения производной.
Дифференциал функции.
Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Дифференциальные уравнения.
Ряды.
Числовые ряды.
Степенные ряды.
Функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных.
Приложение.
Комплексные числа.

По этому учебнику в самом начале дается определение матрицам как таблицам чисел и исследуются операции над ними, определители, обратные матрицы, ранги и т.д. И только в следующей главе (через пару лекций) переходят к СЛАУ, где и применяют всю эту машинерию, а потом к общему определению линейного пространства.

Мне кажется, что следующие варианты были бы нагляднее (в порядке убывания, как мне кажется, наглядности).

1. Начать сразу со СЛАУ, естественным образом ввести матрицу левой части и вектор-столбец правой, тут же мотивировать появление обратной матрицы и детерминанта, операций над матрицами. Затем, в качестве обобщения рассмотреть линейные пространства и как решения СЛАУ вписываются в их контекст.
2. Начать сразу с аксиом линейного пространства, рассмотреть различные примеры (геометрические векторы, полиномы, кортежи чисел в $R^n$ и т.д.), а потом рассмотреть в этом контексте СЛАУ и матрицы.

Однако, книгу и учебную программу, вероятно, писали тоже не дураки, и у нее есть свои преимущества. Поэтому мой вопрос заключается в том, какие преимущества в изложении материала именно в таком порядке как в книге, над теми, что привел я?
Ну и вообще, принимаются любые советы по построению программы, или рекомендации литературы:)

[Geen]

Dedekind в сообщении #1598534 писал(а):

Однако, книгу и учебную программу, вероятно, писали тоже не дураки, и у нее есть свои преимущества.

Ну, может быть, экономистам комплексные числа и не нужны, но вот программисты без них будут заметно ущербны, имхо.
Да и "полиномы" были бы полезны.

А какой продолжительности курс?

[Dedekind]

Geen
Комплексные числа будут, само собой.
Полиномов как таковых в программе нет. Думаю, достаточно будет привести их как пример в разделе про линейные пространства и проиллюстрировать какой-нибудь интерполяцией (типа полинома Лагранжа).

Продолжительность 1 семестр, 16 лекций, 32 практики. Ну и на самостоятельную работу 84 часа выделено.

[Geen]

Dedekind в сообщении #1598543 писал(а):

Комплексные числа будут, само собой.

Просто в "оглавлени", что Вы привели, они идут самой последней строкой, после "приложений"....

Dedekind в сообщении #1598543 писал(а):

Продолжительность 1 семестр, 16 лекций, 32 практики.

Жесть... А кроме Вашего курса ещё какая-то математика есть? Численные методы, хотя бы?

Dedekind в сообщении #1598543 писал(а):

Полиномов как таковых в программе нет.

Да, и "Фурье" похоже тоже нет....

-- 22.06.2023, 12:42 --

Dedekind в сообщении #1598534 писал(а):

Начать сразу с аксиом линейного пространства

Мне кажется, Вам просто времени не хватит.

[Dedekind]

Geen в сообщении #1598546 писал(а):

Просто в "оглавлени", что Вы привели, они идут самой последней строкой, после "приложений"....

Не после, а В приложениях:) Но да, по программе, они тоже почти в конце. После интегралов и перед диффурами.

Geen в сообщении #1598546 писал(а):

Жесть... А кроме Вашего курса ещё какая-то математика есть? Численные методы, хотя бы?

Неа. Во следующем семестре есть только "Дискретная Математика" (там элементы теории множеств, логики, теории графов, булевой алгебры, алгоритмов, теории кодирования), на том с математикой все. Правда есть еще "Алгоритмы и структуры данных", но программы у меня нет. В любом случае, численных методов нигде не наблюдается.

Geen в сообщении #1598546 писал(а):

Да, и "Фурье" похоже тоже нет....

Нет, Фурье есть. В разделе про ряды. Правда, в программе они вынесены на самостоятельное изучение.

-- 22.06.2023, 12:09 --

Geen в сообщении #1598546 писал(а):

Мне кажется, Вам просто времени не хватит.

Тогда как лучше, придерживаться того порядка, что в книге, или так?

Dedekind в сообщении #1598534 писал(а):

1. Начать сразу со СЛАУ, естественным образом ввести матрицу левой части и вектор-столбец правой, тут же мотивировать появление обратной матрицы и детерминанта, операций над матрицами. Затем, в качестве обобщения рассмотреть линейные пространства и как решения СЛАУ вписываются в их контекст.

-- 22.06.2023, 12:41 --

Приведу все-таки программу, потому что есть некоторые отличия от книги.

(Оффтоп)

1. Матрицы и действия над матрицами. Определитель матрицы.
1.а. Вычисление определителей высших порядков.

2. Понятие обратной матрицы. СЛАУ. Метод Гауса.
2.а. Метод Крамера и обратная матрица для решения СЛАУ.

3. Элементы векторной алгебры. Скалярное, векторное и смешанное произведение.
3.а. Вычисление векторного и смешанного произведения и их прикладное применение.

4. Линейное пространство. Линейное преобразование векторов. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
4.а. Нелинейные преобразования координат. Полярная система координат.

5. Аналитическая геометрия на плоскости. Уравнения прямой и кривых 2-го порядка. Аналитическая геометрия в пространстве.
5.а. Построение уравнения прямой в пространстве с помощью вектора нормали.

6. Пределы и непрерывность функции. Алгебраические методы вычисления пределов.
6.а. Вычисление пределов при разных видах неопределенностей.

7. Дифференцирование функции одной переменной. Производная. Дифференциал функции и дифференциал аргумента. Экстремумы функции. Ряд Тейлора.
7.а. Производная неявно заданной и параметрической функции.

8. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя. Вычисление пределов через разложение в ряд Тейлора.
8.а. Исследование функций и построение графиков с помощью дифференциального исчисления. Нахождение асипмтот.

9. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функций многих переменных.
9.а. Задача нахождения условных экстремумов в ограниченной области.

10. Неопределенный интеграл. Первообразная. Методы интегрирования.
10.а. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических функций, иррациональностей.

11. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования. Несобственные инегралы первого и второго рода.
11.а. Решение прикладных задач на применение определенных интегралов.

12. Исследование несобственных интегралов на сходимость.
12.а. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода.

13. ОДУ первого порядка. ОДУ высших порядков.
13.а. Комплексные числа. Метод неопределенных коэффициентов для частных решений неоднородных ОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

14. Системы ОДУ.
14.а. Матричная форма записи систем ОДУ.

15. Числовые ряды и их сходимость. Функциональные и степенные ряды.
15.а. Ряды Фурье. Вычисление коэффициентов ряда Фурье.

Подпунктами Х.а я обозначил вопросы для самостоятельной работы.

[Geen]

На мой личный вкус, более естественно начать со СЛАУ.
И где-то в 4-ый-5-ый пункт я бы добавил комплексные числа и кватернионы...

[Dedekind]

Geen
Большое спасибо за советы!

[sqribner48]

Dedekind

Dedekind в сообщении #1598548 писал(а):

2. Понятие обратной матрицы. СЛАУ. Метод Гауса.

В математической литературе на русском языке принято писать Гаусса

[Dedekind]

sqribner48
Спасибо за ценное замечание:) Всё так, опечатался.

[Combat Zone]

Dedekind в сообщении #1598543 писал(а):

Продолжительность 1 семестр, 16 лекций, 32 практики.

Извините, это в часах или в штуках? Нынче так редко бывает по 2 пары в неделю одного предмета.

[Dedekind]

Combat Zone
В штуках.

[iliaborisov]

Geen в сообщении #1598539 писал(а):

Dedekind в сообщении #1598534 писал(а):

Однако, книгу и учебную программу, вероятно, писали тоже не дураки, и у нее есть свои преимущества.

Ну, может быть, экономистам комплексные числа и не нужны, но вот программисты без них будут заметно ущербны, имхо.
Да и "полиномы" были бы полезны.

А какой продолжительности курс?

ИМХО - когда читается кртакий курс вышмата - он не для практического использования выпускниками в будущей работе, а "для общего развития" ну и для тех предметов, которые используют этот матаппарат (то бишь физику, элеткротехнику с электроникой если они есть в уч плане) - которые тоже не будут использоваться в реальной работе.

[Dedekind]

Dedekind в сообщении #1598548 писал(а):

Приведу все-таки программу, потому что есть некоторые отличия от книги.

(Оффтоп)

1. Матрицы и действия над матрицами. Определитель матрицы.
1.а. Вычисление определителей высших порядков.

2. Понятие обратной матрицы. СЛАУ. Метод Гауса.
2.а. Метод Крамера и обратная матрица для решения СЛАУ.

3. Элементы векторной алгебры. Скалярное, векторное и смешанное произведение.
3.а. Вычисление векторного и смешанного произведения и их прикладное применение.

4. Линейное пространство. Линейное преобразование векторов. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
4.а. Нелинейные преобразования координат. Полярная система координат.

5. Аналитическая геометрия на плоскости. Уравнения прямой и кривых 2-го порядка. Аналитическая геометрия в пространстве.
5.а. Построение уравнения прямой в пространстве с помощью вектора нормали.

6. Пределы и непрерывность функции. Алгебраические методы вычисления пределов.
6.а. Вычисление пределов при разных видах неопределенностей.

7. Дифференцирование функции одной переменной. Производная. Дифференциал функции и дифференциал аргумента. Экстремумы функции. Ряд Тейлора.
7.а. Производная неявно заданной и параметрической функции.

8. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя. Вычисление пределов через разложение в ряд Тейлора.
8.а. Исследование функций и построение графиков с помощью дифференциального исчисления. Нахождение асипмтот.

9. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функций многих переменных.
9.а. Задача нахождения условных экстремумов в ограниченной области.

10. Неопределенный интеграл. Первообразная. Методы интегрирования.
10.а. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических функций, иррациональностей.

11. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования. Несобственные инегралы первого и второго рода.
11.а. Решение прикладных задач на применение определенных интегралов.

12. Исследование несобственных интегралов на сходимость.
12.а. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода.

13. ОДУ первого порядка. ОДУ высших порядков.
13.а. Комплексные числа. Метод неопределенных коэффициентов для частных решений неоднородных ОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

14. Системы ОДУ.
14.а. Матричная форма записи систем ОДУ.

15. Числовые ряды и их сходимость. Функциональные и степенные ряды.
15.а. Ряды Фурье. Вычисление коэффициентов ряда Фурье.

Подпунктами Х.а я обозначил вопросы для самостоятельной работы.

Иду на второй заход:)
В прошлый раз из программы не успел таки: комплексные числа, несобственные интегралы и ДУ. Что касается практических задач, то полиномы Лагранжа как-то не зашли. Возможно, из-за моих скудных педагогических способностей, возможно, из-за того, что айтишникам вообще слабо интересна интерполяция каких-то точек:) Зато неплохо получилось рассказать про работу полносвязной нейронки из перцептронов, где как раз использовались большинство ранее выученных понятий из ЛА и матана.
Это натолкнуло меня на мысль изменить курс так, чтобы в основу поставить и сразу анонсировать одну или несколько относительно "практических" задач, методы решения которых задействовали бы понятия из приведенных тем. Затем отследить эти методы до первых принципов, и, в условиях жесткого ограничения по времени, давать только то, что в итоге приведет к решению этих задач.
Поэтому, несколько вопросов:

1. Что думаете об этой идее? Я вижу недостатком то, что с некоторыми темами студенты таки не познакомятся. Но, с другой стороны, практические задачи всегда лучше стимулируют интерес. А значит, заинтересовавшись какой-то одной частью, студент, возможно, с большей вероятностью посмотрит и другие (ссылки на которые я, разумеется, дам).

2. Какие задачи еще можете порекомендовать для этой цели, кроме нейронки? Условия такие (в порядке убывания приоритетности):
а) Должны быть максимально приближенные к реальным задачам (понятно, что это возможно только до определенной степени).
б) Должны быть достаточно просты, чтобы для решения можно было ограничиться методами из списка тем выше.
в) Желательно должны иметь отношение к айтишникам (а не к физикам, например).

[Geen]

Dedekind в сообщении #1645448 писал(а):

Я вижу недостатком то, что с некоторыми темами студенты таки не познакомятся.

Ну это от задач зависит...

Dedekind в сообщении #1645448 писал(а):

Какие задачи еще можете порекомендовать для этой цели

А насколько много в них может быть программирования?

[Dedekind]

Geen в сообщении #1645453 писал(а):

А насколько много в них может быть программирования?

Ну, это все-таки первокурсники, так что без жести:) Но Вы приводите, а там разберемся.