Не совсем универсальная алгебра

[EminentVictorians]

Попробую объяснить, что мне надо.

В "обычной" алгебре (стандартные курсы общей алгебры) мы изучаем не совсем алгебру, а скорее некоторые конкретные классы алгебраических структур. В линейной алгебре мы изучаем векторные пространства, в теории групп - группы, в коммутативной алгебре - коммутативные кольца и т.д. Я же хочу найти литературу про алгебраические системы вообще. Разумеется, первым делом приходит в голову универсальная алгебра. Проблема в том, что она - не совсем то, что мне нужно. В универсальной алгебре делается акцент на изучении очень общих вещей - мультиоператорных алгебр вообще. И часто все это дело приправлено матлогикой. Ну т.е. допустим, что мне было бы интересно, какие предикаты выражаются в некоторой сигнатуре. Я бы доказал (индукцией по построению термов и формул), что автоморфизмы интерпретации сохраняют все выразимые предикаты, а потом бы нашел автоморфизм, "ломающий" интересующий меня предикат. И тем самым я бы доказал невыразимость этого предиката в данной сигнатуре. Вот это - чистая универсальная алгебра по предмету и методу. Мне же нужно слегка другое. Мне нужна обычная алгебра, только более "высокоуровневая" чем в обычных учебных курсах по общей алгебре. Другими словами, в "обычной" алгебре мы приземляемся в некоторый класс алгебраических структур и начинаем его изучать. Мне же хочется подняться на уровень выше. Мне интересно понять, как классы взаимодействуют друг с другом, при каких условиях они переходят друг в друга, какие есть общие инварианты, при каких условиях классы вырождаются в тривиальные объекты, для которых нету никакой интересной алгебры, что вообще такое "интересная алгебра" для того или иного класса структур и т.п. Надеюсь, у меня получилось в общих чертах обрисовать, что я имею в виду. Хотелось бы ссылок на литературу, ключевых слов, по которым можно гуглить, ну и все такое.

[Not_Al]

EminentVictorians в сообщении #1597190 писал(а):

автоморфизмы интерпретации сохраняют все выразимые предикаты, а потом бы нашел автоморфизм, "ломающий" интересующий меня предикат. И тем самым я бы доказал невыразимость этого предиката в данной сигнатуре

Это все же ближе к матлогике и теории моделей, чем к универсальной алгебре.
Вы читали Мальцева "Алгебраические системы"? Мне кажется это может подойти. И вам стоит уточнить вопрос.

[EminentVictorians]

Not_Al в сообщении #1597402 писал(а):

Вы читали Мальцева "Алгебраические системы"?

Да, читал местами. Я понимаю предмет универсальной алгебры, не то это немного.

Not_Al в сообщении #1597402 писал(а):

И вам стоит уточнить вопрос.

Уточнить могу. Вот есть обычная матлогика с ее обычными методами. А есть категорная матлогика, где для изучения логики используется аппарат теории категорий. Вот мне нужна "категорная алгебра", чтобы она так же соотносилась с обычной алгеброй как категорная логика с обычной логикой.

[Not_Al]

EminentVictorians в сообщении #1597403 писал(а):

нужна "категорная алгебра", чтобы она так же соотносилась с обычной алгеброй как категорная логика с обычной логикой.

Наверное вам тогда надо почитать про теории Ловера.

[EminentVictorians]

Я нашел кое-что. Работа Fillip Bar "On the Foundations of Geometric Algebra (Diploma thesis)" (ссылка; там есть "скачать пдф"). А я ведь давно подозревал, что линейная алгебра - это теоретико-категорная история. Я максимально рекомендую всем хотя бы посмотреть на эту работу, это просто отпад.

[Padawan]

(Оффтоп)

EminentVictorians
Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $(1, 0)$, $(3, -7)$, $(4, 5)$, используя определитель. Можно также использовать теорию категорий

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1597500 писал(а):

Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $(1, 0)$, $(3, -7)$, $(4, 5)$, используя определитель. Можно также использовать теорию категорий

Padawan, это стандартный сюжет, который есть наверное в практически любом учебнике аналитической геометрии. Вы думаете я не вижу, в какой форме Вы мне это пишете?

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1597190 писал(а):

в "обычной" алгебре мы приземляемся в некоторый класс алгебраических структур и начинаем его изучать.
..
как классы взаимодействуют друг с другом, при каких условиях они переходят друг в друга, какие есть общие инварианты, при каких условиях классы вырождаются в тривиальные объекты, для которых нету никакой интересной алгебры, что вообще такое "интересная алгебра" для того или иного класса структур и т.п.

Может быть, Вам стоит привести какой-то конкретный результат, в котором Вы хотели бы разобраться?
А то как-то непонятно, про что вообще речь, очень общо и туманно.

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1597635 писал(а):

Может быть, Вам стоит привести какой-то конкретный результат

Что такое, например, $GL_n(K)$? Это группа невырожденных матриц порядка $n \times n$ над полем (или в более общем случае - коммутативным кольцом) $K$. С "низкоуровневой" точки зрения мало что видно: ну невырожденные матрицы, и что такого? А хочется смотреть на $GL_n$ как на "оператор", который берет $K$ и ставит ему в соответствие $GL_n(K)$. Получили функтор. Можно взять определитель. Ну есть какая-то формула Лейбница, но вообще не понятно, почему она важна. Становится немного более понятно, если осознать, что определитель является индикатором линейной зависимости. Но если подняться на уровень выше, то становится понятно, что определитель - это ни что иное, как естественное преобразование между двумя функторами. И очень легко догадаться между какими. Определитель берет матрицу и ставит ей в соответствие число. Где может быть такая стрелка? Очевидно, в категории групп (или моноидов). Если брать группы, то определитель - это гомоморфизм из главной линейной группы в группу обратимых элементов кольца $K$. Т.е. он - просто естественное преобразование с участием того самого функтора $GL_n$, о котором речь шла выше (второй функтор - это $()^*$ - взятие обратимых элементов кольца). Все стало на порядок проще, чем было, когда мы смотрели на все эти вещи как в обычных учебниках общей алгебры.

Мне нужна именно такая, высокоуровневая алгебра. Пример выше довольно скучный, т.к. слишком простой. Мне нужна алгебра, которая будет использовать всю мощь теории категорий. Где будет много разных сложных категорий, которые будут как-то меняться, факторизоваться, обогащаться и т.д. Функторы будут не настолько примитивные и обозримые, а как-нибудь сложным образом конструируемые. Есть ведь алгебраические примеры в книжке Маклейна. Они хороши, но недостаточно сложны - книжка-то по категориям, а не по алгебре. Вот нужно какое-то продолжение тех фрагментов "категорной алгебры", которые есть у Маклейна.

[mihaild]

EminentVictorians, а из всех этих умных слов Вы хотя бы кососимметричность по строкам вывести можете? Что определитель - свободный член характеристического многочлена?
Да в конце концов - у мультипликативной группы кольца может быть куча автоморфизмов, соответственно куча гомоморфизмов из матриц в кольцо, как нужный выбирать?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1597764 писал(а):

кососимметричность по строкам вывести можете?

А я не знаю, как кососимметричность интерпретируется с категорной точки зрения (хотя кстати однажды вроде бы и видел, но на память точно не вспомню). По-видимому, стоит начать с элементарных преобразований. На них тоже хочется смотреть функториально, но как - я не знаю.

Но то, что $\det(AB) = \det A \det B$ выводится элементарно.
Доказательство.
Определитель - это стрелка в категории моноидов, а значит гомоморфизм. Чтд.

Может показаться, что одно становится проще в ущерб другого. Но лично я так не считаю.

-- 16.06.2023, 13:04 --

mihaild в сообщении #1597764 писал(а):

Да в конце концов - у мультипликативной группы кольца может быть куча автоморфизмов, соответственно куча гомоморфизмов из матриц в кольцо, как нужный выбирать?

А я кстати первым делом, в том году, как только узнал, что определитель является естественным преобразованием между $GL_n$ и $()^*$ сразу задался вопросом, какие могут быть еще естественные преобразования между этими двумя функторами, отличные от определителя. Но у меня не получилось продвинуться.

[vpb]

EminentVictorians в сообщении #1597771 писал(а):

Доказательство.
Определитель - это стрелка в категории моноидов, а значит гомоморфизм. Чтд.

А то, что это стрелка в категории моноидов, как раз и следует из того, что определитель произведения есть произведение определителей. Порочный круг имеем.

EminentVictorians в сообщении #1597771 писал(а):

Но у меня не получилось продвинуться.

А у меня получилось, и очень быстро (не до конца, впрочем). Достаточно взять любую целую степень определителя (скажем, квадрат), или просто тривиальное отображение в единицу. Возможно, других и нет. Или, наоборот, есть континуально много, сейчас не знаю. НужОн этот вопрос, впрочем, как Неуловимый Джо.

И это наводит на мысли, что категорий вы на самом деле не понимаете, только пыль в глаза пускаете.

[mihaild]

vpb в сообщении #1597823 писал(а):

А у меня получилось, и очень быстро (не до конца, впрочем). Достаточно взять любую целую степень определителя (скажем, квадрат), или просто тривиальное отображение в единицу

Точное утверждение такое: если $f$ - гомоморфизм $GL_n(K) \to K_*$, то $f(A) = \phi(\operatorname{det}(A))$, где $\phi$ - гомоморфизм $K_* \to K_*$. Доказательство не очень сложное, но содержательно использует структуру матриц.
Дальше вопрос о гомоморфизмах $K_*$ в себя. Если $K = \mathbb R$, то это вопрос о гомоморфизмах $\mathbb R_+$ в себя + решить, куда из $\pm 1$ переходит единица. Ну а про гомоморфизмы $\mathbb R_+$ в себя все всё знают (это умножение на константу, и дальше в зависимости от аксиомы выбора еще что-то может быть а может и не быть).
Но мне интересно, как это получить из теории категорий - что из гомоморфизма и еще гомоморфизма можно сделать гомоморфизм наверное сказать можно, а вот как доказать, что других нет?

[vpb]

mihaild в сообщении #1597827 писал(а):

Точное утверждение такое: если $f$ - гомоморфизм $GL_n(K) \to K_*$, то $f(A) = \phi(\operatorname{det}(A))$, где $\phi$ - гомоморфизм $K_* \to K_*$. Доказательство не очень сложное, но содержательно использует структуру матриц.

Гм. Вы тут много напутали. Группа обратимых элементов в $K$ --- это $K^\ast$, а не $K_*$. Далее, утверждение, что всякий гомоморфизм из $GL_n(K)$ в $K^\ast$ --- вида $\varphi(\det(x))$, верно для полей, а для произвольных коммутативных колец $K$ --- не уверен. Наконец, коли речь о естественных преобразованиях функторов, то и надо рассматривать не всякие гомоморфизмы, а только естественные по $K$.

mihaild в сообщении #1597827 писал(а):

Но мне интересно, как это получить из теории категорий - что из гомоморфизма и еще гомоморфизма можно сделать гомоморфизм наверное сказать можно, а вот как доказать, что других нет?

Если это относительно того, что всякий гомоморфизм из $GL_n(K)$ в $K^\ast$ --- вида $\varphi(\det(x))$, где $K$ --- поле, то это содержательная алгебра, а из голых категорий --- никак. Да и вообще тут категории как бы ни при чем. (Впрочем, они вообще весьма мало где при чем. Если, конечно, оставить в покое палец и не пытаться их из него высосать, денно и нощно.)

[Padawan]

vpb в сообщении #1597823 писал(а):

А у меня получилось, и очень быстро (не до конца, впрочем). Достаточно взять любую целую степень определителя (скажем, квадрат), или просто тривиальное отображение в единицу. Возможно, других и нет. Или, наоборот, есть континуально много, сейчас не знаю. НужОн этот вопрос, впрочем, как Неуловимый Джо.

Мы же доказали это на форуме, что да, только целые степени (и еще тождественный ноль) https://dxdy.ru/post1439887.html (правда там функторы немного другие были)