Матрицы в вероятности

[Combat Zone]

Однозначно вступительные )
... что-то мне кажется, не дождемся мы текста задачи.

[Евгений Машеров]

Да хотя бы точного указания, какой год и какой поток.

[ipgmvq]

Combat Zone в сообщении #1594920 писал(а):

Вырожденное нормальное, бывает такое.

Это как? Прям все измерения вырождены и оно всё же нормальное?

Combat Zone в сообщении #1594923 писал(а):

Я так понимаю, ipgmvq решил, что задача была в рамках курса.

Да.

Maxim19 в сообщении #1594896 писал(а):

А вы задачу нашли?

Я имел в виду, что двумерная задача не может быть сложной.

Maxim19 в сообщении #1594896 писал(а):

Получается, что в той матрице записывается зависимость.

Да, и это очень удобно и изящно. И в R, и в Python, если у вас есть матрица x (numpy-массив в Python), где допустим колонки это переменные, а ряды это (одновременные) наблюдения, то, подав эту матрицу в функцию var() в R или массив x.T в метод numpy.cov(), на выходе вы получите ковариационную матрицу.
Если вам нужно посчитать дисперсию взвешенной суммы этих случайных величин, то это считается
$\mathbf{w^\intercal} \mathbf{\Sigma} \mathbf{w}$, где $\mathbf{\Sigma}$ ковариационная матрица, а $\mathbf{w}$ вектор весов. С матрицами и векторами всё записывается очень удобно и компактно.

[Combat Zone]

ipgmvq в сообщении #1594990 писал(а):

Это как? Прям все измерения вырождены и оно всё же нормальное?

У вас не было про "все". У вас было про попарно зависимы. А вектор из попарно зависимых вполне может иметь нормальное распределение, единственно, матрица ковариации будет вырожденна, и следовательно, плотности не существует. Но и все.
Такое нормальное распределение, лишенное плотности, называется вырожденным. Определение.

[ipgmvq]

Combat Zone в сообщении #1595010 писал(а):

матрица ковариации будет вырожденна

Справедливо. В этом случае опишешь и вектором. Но и вырожденной матрицей тоже опишешь.

[Combat Zone]

ipgmvq в сообщении #1595019 писал(а):

Справедливо. В этом случае опишешь и вектором. Но и вырожденной матрицей тоже опишешь.

Извините, вы о чем? Не могли бы вы дать определение многомерного нормального распределения, чтобы хотя бы мне было понятно, насколько одинаково мы его понимаем?
Потому что это:

ipgmvq в сообщении #1594990 писал(а):

Да, и это очень удобно и изящно. И в R, и в Python, если у вас есть матрица x (numpy-массив в Python), где допустим колонки это переменные, а ряды это (одновременные) наблюдения, то, подав эту матрицу в функцию var() в R или массив x.T в метод numpy.cov(), на выходе вы получите ковариационную матрицу.

вообще ни разу не имеет отношения к задаче, что питон, что R работают с выборками и результат выполнения этих команд - матрица выборочных ковариаций. Для которых нет разницы, как именно распределены случайные величины, там о них и речи нет.

Так что нет, не справедливо. Вы меня просто не понимаете. Мы говорим на разных языках. Вы - на языке статистики (и тогда при чем тут нормальность), я - на языке тервера. Давайте еще раз. Может, он окажется более удачным.

[ipgmvq]

Combat Zone

(Оффтоп)

Не спится? Вас по ночам заносит? Эта вторая часть была не Вам. P.S. Если Вас это действительно интересует, то я Вас понимаю.

[Combat Zone]

ipgmvq
С добрым утром. В том-то и дело, что не мне. Была бы мне - мне бы было наплевать.
По существу можно вас услышать? Мне интересно. Я вижу, что вы и я пишем о разном. Я хочу понять, о чем пишете вы. Не люблю, когда дисконнект до такой степени.

[Евгений Машеров]

Куда топикстартер делся? Пусть хотя бы укажет, откуда задачи...

[Евгений Машеров]

По-моему, тут некоторое терминологическое недоразумение. Есть термин "вырожденное распределение", но есть и "вырожденное многомерное нормальное распределение". Общее - что плотность не существует. Но тем не менее разные вещи. Вырожденное распределение "просто" - это когда никакой случайности нет, величина принимает одно и то же значение, и как случайную её рассматривают ради общности. А вырожденность многомерного нормального состоит в том, что ранг ковариационной матрицы неполон, и между отдельными компонентами есть линейная зависимость. То есть вполне себе случайные, но линейно зависимые.

[Combat Zone]

Combat Zone в сообщении #1594920 писал(а):

Вырожденное нормальное, бывает такое.

Ну да, это и имелось в виду.
Но меня озадачивает фраза

ipgmvq в сообщении #1594889 писал(а):

вектором многомерное нормальное распределение не опишешь, когда его элементы попарно зависимы,

О чем тут? Как опишешь многомерное нормальное распределение, кроме как вектором, это ж и есть случайный вектор.

... ладно. Пойду в степь. Временно.

[ipgmvq]

Combat Zone в сообщении #1595079 писал(а):

Как опишешь многомерное нормальное распределение, кроме как вектором, это ж и есть случайный вектор.

Удобство параметрических распределений в том, что их можно полностью описать конечным числом параметров. В случае нормального — двумя. В случае многомерного нормального вектором $\mu$ и матрицей $\Sigma$. Ошибочно (вижу из приводимой цитаты выше) подумал, что Вы давеча указали мне на контрпример (ещё более узкий, чем просто вырожденное многомерное распределение), который можно описать тремя векторами (матожиданий $\mathbf{\mu}$, вектором ковариаций одного из элементов $\mathbf{d}$ и вектором скейлирующих коэффициентов для вектора ковариаций этого одного элемента $\mathbf{a}$). И дальше во всех формулах, где появляется (вырожденная) ковариационная матрица использовать $\mathbf{a} \mathbf{d}^{\intercal}$. Например, вместо $\mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ задать $\mathbf{d} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ и $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$. Вуаля описали без матрицы. Но после приведенной цитаты, не знаю, зачем Вы приводили этот контрпример. Хотя это неважно. As far as I am concerned, Ваш контрпример показал мне, что мое заявление относительно необходимости матрицы для взаимозависимых элементов неверен в общем случае.

Combat Zone в сообщении #1595033 писал(а):

вообще ни разу не имеет отношения к задаче

Эта часть вообще не имела отношения к задаче, как и фраза, на которую она отвечала. Посыл был в том, что хотя матрицы и вектора могут быть непривычны после школы, скалярами оперировать будет неудобно. Что даже простейшие функции в R и Python будут выдавать матрицы. Да, выборочные оценки, а не параметры. Речь не об это, а об вездесущности матриц и векторов и их удобстве в теории вероятностей и математической статистике.

Евгений Машеров в сообщении #1595070 писал(а):

По-моему, тут некоторое терминологическое недоразумение. Есть термин "вырожденное распределение", но есть и "вырожденное многомерное нормальное распределение".

Да, было такое вначале. Потом я смекнул, что имелось в виду.