Постояноство длины 4-вектора в ОТО м не-римановой геометрии

[Divergence]

Встречал утверждение, что Длины и углы векторов при их параллельном переносе не изменяются в Римановой геометрии.
Однако не нашел в книгах доказательств этого утверждения. Смотрел в Рашевском и Дубровин Новиков Фоменко. и некоторых других.
Подскажите пожалуйста в какой книге можно найти доказательство постоянства длины 4-вектора при параллельнос переносе (можно на англ.).

Попробую сам доказать.
Как я понимаю квадрат длины 4-вектора $A^{\mu}$ это скалядное произведение $g_{\alpha \beta} A^{\alpha} A^{\beta}$.

Дубровин Новиков Фоменко (1986 стр. 262 или 1998 стр.217): Определение 2. Параллельным переносом вектора $A^{\mu}_P$ из точки Р в точку Q вдоль кривой $x^{\mu} = x^{\mu}(t)$, где $0 \le t \le 1$, ведущей из Р в Q, называется векторное поле $A^{\mu}$, заданное во всех точках кривой и параллельное вдоль этой кривой:

$$ \frac{dx^{\mu}(t)}{dt} \, \nabla_{\mu} A^{\alpha} \, = \, 0 \quad (1) $$

для всех $t \in [0,1]$. При $t=0$ векторное поле $[math]A^{\mu}$[/math] в точке Р должно совпадать с исходным вектором $A^{\mu}_P$. При $t = 1$ векторное поле $A^{\mu}$ в точке Q есть вектор $A^{\mu}_Q$, называющийся результатом параллельного переноса вектора $A^{\mu}$ вдоль заданной кривой $x^{\mu} = x^{\mu}(t)$ из Р в Q.

Вопрос 1.
Можно ли доказывать постоянства длины 4-вектора следующим образом?
Обозначим $D \, := \, \frac{dx^{\mu}(t)}{dt} \, \nabla_{\mu}$. Тогда

$$ D \, ( g_{\alpha \beta} A^{\alpha} A^{\beta}) \, = \, (D \, g_{\alpha \beta}) A^{\alpha} A^{\beta} \, + \, g_{\alpha \beta} (D \, A^{\alpha}) A^{\beta} \, + \, g_{\alpha \beta} A^{\alpha} (D \, A^{\beta}) \, = \, 0 \, + \, 0 \, + \, 0. $$

где использовали, что (1) имеет вид $D \, A^{\alpha} \, = \, 0$ и $\nabla_{\mu} g_{\alpha \beta} = 0$ для Римановой геометрии.

Вопрос 2.
Можно ли считать квадрат длины 4-вектора $g_{\alpha \beta} A^{\alpha} A^{\beta}$ вещественным числом?
Или это не число, а скалярное поле (функция) зависящая от координаты?
Если не число, то почему же это поле не меняется вдоль кривой?

Вопрос 3.
В не-Римановой геометрии $\nabla_{\mu} g_{\alpha \beta} \, \ne \, 0$.
В этом случае длины и углы векторов при их параллельном переносе изменяются.

Обычно 4-вектор скорости $u^{\mu}$ удовлетворяет условию $g^{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta} \, = \, - \, c^2$.
Покольку, $\nabla_{\mu} g_{\alpha \beta} \, \ne \, 0$, то

$$ D \, ( g_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta}) \, = \, (D \, g_{\alpha \beta}) u^{\alpha} u^{\beta} \, \ne \, 0 . $$

В результате,

$$ D \, c^2 \, \ne \, 0 . $$

Где ошибка?

[Geen]

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

скалядное произведение $g^{\alpha \beta} A^{\alpha} A^{\beta}$.

Неправильно - из двух "суммируемых" индексов один должен быть сверху, второй - снизу. Обязательно.

[Divergence]

Извиняюсь - это опечатка. Ниже в доказательствах все OK
Исправил опечатку.

[Geen]

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

и $\nabla_{\mu} g_{\alpha \beta} = 0$ для Римановой геометрии

Для связности Леви-Чевиты.

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

В не-Римановой геометрии

А что это такое? Дайте определение, пожалуйста.

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

Обычно 4-вектор скорости $u^{\mu}$

И что такое "4-скорость" в случае "не-Римановой" геометрии? Да и в случае "Римановой" геометрии тоже?

-- 19.05.2023, 13:45 --

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

удовлетворяет условию $g^{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta} \, = \, - \, c^2$.

А что такое $c$ в геометрии?

[Divergence]

Под не-Римановой геометрии подразумевал метрическо-аффинную геометрию, в которой тензор неметричности отличен от нуля ($Q^{\alpha}_{\ \mu \nu} : = \nabla^{\alpha}g_{\mu \nu} \ne 0$).
Например, Раздел 2.1 "Metric-affine geometry" в обзоре "Teleparallel Gravity: From Theory to Cosmology" (arXiv:2106.13793)
https://arxiv.org/abs/2106.13793 (правда там крышечки над всеми тензорами расставили, чтобы отличить от римановой)
или в википедии "Metric-affine gravitation theory"
https://en.wikipedia.org/wiki/Metric-af ... ion_theory

-- 19.05.2023, 14:13 --

Geen в сообщении #1594440 писал(а):

И что такое "4-скорость" в случае "не-Римановой" геометрии? Да и в случае "Римановой" геометрии тоже?

Да просто 4-вектор $u^{\mu}$, который удовлетворяет условию $u_{\alpha} u^{\alpha} \ ,= \, g_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta} \, = \, - \, c^2$, где $c^2$ - положительное число (например 1).

[Geen]

Divergence в сообщении #1594441 писал(а):

Да просто 4-вектор $u^{\mu}$, который удовлетворяет условию $u_{\alpha} u^{\alpha} \ ,= \, g_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta} \, = \, - \, c^2$, где $c^2$ - положительное число (например 1).

То есть Вы задали некоторое векторное поле, нормированное неким скалярным полем. Так?
Тогда как Вы получили

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

$$ D \, ( g_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta}) \, = \, (D \, g_{\alpha \beta}) u^{\alpha} u^{\beta} \, \ne \, 0 . $$

[Divergence]

Да, ошибка в предположении, что $D \, u^{\mu}=0$.
Длина произвольного 4-вектора меняется при параллельном переносе, а 4-вектора скорости не меняется и $D c^2 =0$, но $D \, u^{\mu} \ne 0$.


Спасибо

-- 19.05.2023, 15:55 --

Получается, что вектор 4-скорости перенести параллельно в МА геометрии нельзя.

[Geen]

Divergence в сообщении #1594452 писал(а):

Получается, что вектор 4-скорости перенести параллельно в МА геометрии нельзя.

А вот это Вы как вывели??

[svv]

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

Вопрос 1.
Можно ли доказывать постоянства длины 4-вектора следующим образом?

Да.

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

Вопрос 2.
Можно ли считать квадрат длины 4-вектора $g_{\alpha \beta} A^{\alpha} A^{\beta}$ вещественным числом?
Или это не число, а скалярное поле (функция) зависящая от координаты?
Если не число, то почему же это поле не меняется вдоль кривой?

В случае индефинитной метрики "квадрат длины" — это условность, хотя понятно, о чём речь. Кстати, часто длиной вектора $\mathbf A$ считают$ \sqrt{|g_{\alpha \beta} A^\alpha A^\beta|}$. Фактически, тогда получаются два разных понятия длины — для пространственноподобных векторов и для времениподобных.

Если вектор $\mathbf A$ задан только в одной точке, тогда и квадрат его длины определен только в этой точке. Если вектор $\mathbf A$ задан в каждой точке некоторой области либо кривой, тогда это векторное поле, а квадрат длины $\mathbf A$ будет скалярным полем. Лишь в частном случае поле $\mathbf A$ на кривой задаётся параллельным переносом вдоль кривой вектора, заданного в одной её точке. Тогда квадрат длины $\mathbf A$ будет постоянным (при условии, что метрика согласована со связностью) — но это всё равно скалярное поле. Скалярное поле, постоянное вдоль кривой.

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

Дубровин Новиков Фоменко (1986 стр. 262 или 1998 стр.217): Определение 2. Параллельным переносом вектора $A^{\mu}_P$ из точки Р в точку Q вдоль кривой $x^{\mu} = x^{\mu}(t)$, где $0 \le t \le 1$, ведущей из Р в Q, называется векторное поле $A^{\mu}$, заданное во всех точках кривой и параллельное вдоль этой кривой:

$$\frac{dx^{\mu}(t)}{dt} \, \nabla_{\mu} A^{\alpha} \, = \, 0 \quad (1)$$

Тут ещё такие обозначения применяются. Пусть $\mathbf v(t)$ с компонентами $v^\mu(t)=\frac{dx^{\mu}(t)}{dt}$ — касательный вектор в точке $x^{\mu}(t)}$, тогда можно записать (1) в виде $v^\mu\nabla_{\mu} A^{\alpha}=0$.

Очень часто вместо $v^\mu\nabla_{\mu}$ пишут $\nabla_{\mathbf v}$. Более того, такое обозначение (или даже понятие) в каком-то смысле является первичным: ковариантная производная векторного поля $\mathbf A$ в такой-то точке по направлению вектора $\mathbf v$. С этой точки зрения $\nabla_\mu$ — всего лишь краткое обозначение для (возьмите лупу!) $\nabla_{\mathbf e_\mu}$, где $\mathbf e_\mu$ — базисный вектор. Совсем избавляясь от индексов, перепишем (1) в виде
$\nabla_{\mathbf v}\mathbf A=\mathbf 0$

[Divergence]

Geen в сообщении #1594461 писал(а):

А вот это Вы как вывели??

По определению параллельного переноса и свойству $D \, u^{\mu} \ne 0$, доказываемому прямым вычислением
Для доказательства $D \, u^{\mu} \ne 0$, удобно определить $u^{\mu} = N \, A^{\mu}$, взяв произвольный вектор $A^{\mu}$ и $N:=( - A_{\alpha} A^{\alpha})^{-1/2} $.
Тогда

$$D \, u^{\mu} = D (N \, A^{\mu}) = (D \, N) \, A^{\mu} \, + N \, D ( A^{\mu}) = (D \, N) \, A^{\mu} \ne 0 .$$

Получается, что вектор 4-скорости перенести параллельно в МА геометрии, в общем случае, нельзя.

Спасибо svv за поясняющие комментарии.

[svv]

(Оффтоп)

Divergence в сообщении #1594485 писал(а):

Получается, что вектор 4-скорости перенести параллельно в МА геометрии, в общем случае, нельзя.

Смотря как понимать слова можно/нельзя. Сравните ответы двух людей, A и B:

— Можно ли в МА-геометрии параллельно переносить вектор 4-скорости?
A: Нельзя. Результат переноса ($\mathbf u$) в общем случае не будет иметь свойство $\mathbf u\cdot\mathbf u=-1$.
B: Можно, как и любой вектор. Только результат переноса может не иметь свойства $\mathbf u\cdot\mathbf u=-1$.

— Можно ли разделить нечётное число на два?
A: Нельзя. Нечётные числа на два не делятся.
B: Можно, но результат не будет целым.

— Можно ли переходить дорогу в неположенном месте?
A: Нельзя!!!
B: Можно, но это опасно, и могут оштрафовать.

[epros]

Divergence в сообщении #1594434 писал(а):

Встречал утверждение, что Длины и углы векторов при их параллельном переносе не изменяются в Римановой геометрии.
Однако не нашел в книгах доказательств этого утверждения.

Вообще-то это утверждение является ничем иным, как условием согласования метрики со связностью. Оно либо выполняется в выбранной геометрии, либо нет. Соответственно, если геометрия определена таким образом, что условие выполняется, то я не вижу никакого смысла в том, чтобы его "доказывать".

[Doctor Boom]

Интересно, а можно придумать геометрию, где при переносе вектора вдоль замкнутого контура он по пришествии имел бы другую длину, нежели его изначальный эталон? Ну т.е. тупо заменили угол поворота на длину (для угла будут просторанства с кривизной)

[sergey zhukov]

Doctor Boom
По моему, параллельный перенос вектора определяется именно для вектора постоянной длины. Иначе какой смысл вообще говорить о "переносе" вектора, если даже инвариант вектора не сохраняется?

Если метрика не задана, то несовпадение компонент исходного и перенесенного по замкнутому контуру вектора невозможно разделить на "поворот" и "изменение длины". Если же метрика задана, то параллельный перенос определяется так, что длина вектора сохраняется.

Может, его и как-то иначе можно определить, конечно.

[Doctor Boom]

sergey zhukov
А сейчас говорил не про метрические геометрии, а про (гипотетичекие?) потенциально другого типа