Постояноство длины 4-вектора в ОТО м не-римановой геометрии

[sergey zhukov]

Doctor Boom
Если эти гипотетические геометрии не метрические, о какой тогда длине вектора можно говорить?

Впрочем, я тут не особо силен. Так, на интуитивном уровне есть убеждение, что "перенос" - это такой процесс, что нечто в нем сохраняется. У вектора кроме длины больше никаких инвариантов нет. Если перенос не сохраняет и его, то остается только "перенесение параллельности", а не "параллельный перенос вектора".

[Doctor Boom]

sergey zhukov
Разве понятие длины вектора можно ввести только в метрических геометриях? Но это неважно, я имел ввиду вот что - что в некой гипотетической геометрии при переносе вектора вдоль замкнутого контура (не обязательно параллельном) в процессе переноса его длина локально никак не изменяется, а по возвращении в исходную точку бац, и уже другая длина. Ну тут полная аналогия с углом для метрических геометрий с кривизной - при параллельно переносе вдоль замкнутого контура вектор локально нигде не поворачивается (т.к. перенос параллельный), а в конечном пункте уже есть отклонение по углу

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1596073 писал(а):

Разве понятие длины вектора можно ввести только в метрических геометриях?

По моему, да.

Так, чтобы на каждм шаге сохранялась, а в конце переноса - не совпадала... Для этого метрический тензор должен быть несимметричным, я думаю. Или даже вообще длина вектора должна быть связана с его компонентами не через тензор, а как-то иначе. Думаю, это возможно.

[Geen]

параллельный перенос это одна связность, метрика - другая...
а поднятие/опускание индексов - это третья...

[svv]

Doctor Boom в сообщении #1596060 писал(а):

Интересно, а можно придумать геометрию, где при переносе вектора вдоль замкнутого контура он по пришествии имел бы другую длину, нежели его изначальный эталон?

Такую теорию придумал Герман Вейль ещё примерно в 1918 году. Я о ней читал в двух источниках:
1) В. Паули, Теория относительности, §65, с.256.
2) Сборник работ самого Вейля "Математическое мышление", статья "Геометрия и физика", с.194.
Возможно, есть более современные источники.

Такая особенность геометрии позволяла Вейлю объединить гравитацию и электромагнетизм. Эйнштейн возразил, что это противоречит опыту (почему линейки равной длины остаются равными, если их перенести в одну точку разными путями?). Вейль ответил, что "длины" этой геометрии имеют не совсем прямое отношение к длинам, измеряемым в физических экспериментах. Несмотря на некоторые достоинства теории, этот ход существенно снизил её убедительность.

[sergey zhukov]

Сохранение длины вектора при перенесении - это же просто сохранение числа. Кажется невозможным, чтобы "перенесение числа" сохраняло его на каждом локальном шаге, но приводило к расхождению при сравнении в начале и в конце. Мы можем проставить величину длины вектора в каждой точке контура и убедиться, что разрыва быть не может.

[epros]

Doctor Boom в сообщении #1596060 писал(а):

Интересно, а можно придумать геометрию, где при переносе вектора вдоль замкнутого контура он по пришествии имел бы другую длину, нежели его изначальный эталон? Ну т.е. тупо заменили угол поворота на длину (для угла будут просторанства с кривизной)

Любая метрика, не согласованная с аффинной связностью, ведёт себя так. Только, имхо, в таких геометриях не слишком много практического смысла. Скажу более того, если у нас в геометрии определён только параллельный перенос (аффинная связность), но не определена метрика, то первое, что мы захотим сделать, это попытаться доопределить метрику посредством переносов в разные места вектора, принятого за "эталон". И весь вопрос в том, позволит ли нам связность это сделать. Может и не позволить, например, если при переносе некоего $\vec{a}$ по некоему контуру получается ровно $2 \vec{a}$.

[sergey zhukov]

epros
Я так понял, идея была в том, чтобы придумать геометрию, в которой длины векторов можно было бы сравнить только локально (как их параллельность). Тогда при переносе вектора, "сохраняющем длину", все соседние векторы по цепочке контура были бы равны друг-другу по длине, а в начале и в конце - нет.

Если метрика не согласована со связностью, то длина вектора просто вообще не сохраняется при переносе.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1596228 писал(а):

придумать геометрию, в которой длины векторов можно было бы сравнить только локально (как их параллельность)

sergey zhukov в сообщении #1596228 писал(а):

все соседние векторы по цепочке контура были бы равны друг-другу по длине, а в начале и в конце - нет

Что-то я не фига не понял. Перенос - это такая штука, что сравнить его результат с исходным вектором можно только в том случае, если мы и возвращаемся в исходную точку, т.е. имеем перенос по контуру. Или, например, можно сравнить результаты переноса одного вектора по двум разным путям - по-сути, это тоже контур. Речь, вроде, была о том, чтобы при переносе по контуру менялась длина вектора. И если метрика не согласована со связностью, то такое непременно где-то случится.

Эйнштейну ведь почему это не понравилось? Представьте, что космонавт слетал к далёким звёздам, а после этого его суперточные и практически эталонные часы не только разошлись с лабораторными, но ещё и стали идти в два раза медленнее лабораторных. Как Вам такая физика?

[sergey zhukov]

epros
Нет, речь была о том, что как "параллельность все время сохраняется, а при замыкании контура бац - не параллельны", так же "длина все время сохраняется, а при замыкании контура бац - длины не равны".

У нас для длины метрика есть, если метрика со связностью не согласована, то мы и без замыкания контура видим - длина не сохраняется. А вот если бы (как я понял) метрики не было, но длина вектора была-бы как-то определена, и мы могли бы сравнивать длины векторов только локально ("перенос с сохранением длины"), то нечто подобное (бац - длины не равны) и было бы возможно.

Это я так понял исходную идею. А про то, что "часы стали в два раза медленее" это мне понятно. Выглядит крайне подозрительно, конечно.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1596248 писал(а):

"параллельность все время сохраняется, а при замыкании контура бац - не параллельны"

Что-то я этого не вижу. Да и не понимаю, что это значит.

sergey zhukov в сообщении #1596248 писал(а):

"длина все время сохраняется, а при замыкании контура бац - длины не равны"

Аналогично.

sergey zhukov в сообщении #1596248 писал(а):

У нас для длины метрика есть, если метрика со связностью не согласована, то мы и без замыкания контура видим - длина не сохраняется.

Ну да, конечно.

sergey zhukov в сообщении #1596248 писал(а):

А вот если бы (как я понял) метрики не было, но длина вектора была-бы как-то определена

Если метрики нет, это и значит, что длина никак не определена.

sergey zhukov в сообщении #1596248 писал(а):

и мы могли бы сравнивать длины векторов только локально ("перенос с сохранением длины")

Не понял к чему это добавление в скобках, но без метрики "сравнивать длины векторов" можно только если векторы коллинеарны.

sergey zhukov в сообщении #1596248 писал(а):

то нечто подобное (бац - длины не равны) и было бы возможно.

Нет, не понимаю я этих "бац". Длины определяются сравнением с эталоном - линейкой. Если эталонную линейку можно переносить, значит мы уже пытаемся согласовать метрику с переносом, т.е. полагаем по определению, что длина при переносе не меняется. Если нельзя, значит в каждой точке должна быть своя линейка. Какие "бац"?

-- Пт июн 02, 2023 23:00:28 --

sergey zhukov в сообщении #1596248 писал(а):

А про то, что "часы стали в два раза медленее" это мне понятно. Выглядит крайне подозрительно, кон

Ещё как подозрительно. Устройство-то одно и то же, но "полетавшие" часы почему-то непонятным образом стали какими-то другими. Физика очень странная.

[sergey zhukov]

epros
Ну ладно. Идея не моя все равно, так что я ее толком тоже не понимаю.

[Doctor Boom]

epros в сообщении #1596251 писал(а):

Что-то я этого не вижу. Да и не понимаю, что это значит.

Что не видите, что если разорвать контур точкой, то все вектора вдоль разомкнутого контура будут параллельны? А если точку вернуть, то на ее границе обнаружим непараллельность?

epros в сообщении #1596251 писал(а):

Аналогично

Аналогично)

epros в сообщении #1596251 писал(а):

Если метрики нет, это и значит, что длина никак не определена.

Простейший одномерный пример - окружность с таким свойством. При переносе вектора его длина локально не меняется, а после переноса по кругу стала в два раза больше по сравнению с изначальной эталонной (а с т.з. возвратившегося вектора эталон стал в два раза меньше). Да, в такой геометрии нельзя ввести глобально длину вектора (так же как в римановой геометрии нельзя глобально ввести угол между двумя разнесенными векторами, или во вращающейся СО нельзя ввести общее время)

sergey zhukov в сообщении #1596253 писал(а):

Идея не моя все равно, так что я ее толком тоже не понимаю.

Вы все более менее верно понимаете

[epros]

Doctor Boom в сообщении #1596290 писал(а):

Что не видите, что если разорвать контур точкой, то все вектора вдоль разомкнутого контура будут параллельны?

При параллельном переносе вектор остаётся параллельным строго в том смысле, в котором перенос считается параллельным. И больше ни в каком.

Doctor Boom в сообщении #1596290 писал(а):

При переносе вектора его длина локально не меняется

Как это узнать, если метрика не определена?

[Geen]

epros в сообщении #1596385 писал(а):

Как это узнать, если метрика не определена?

Ну, если переносить вдоль геодезической вектор, касательный к геодезической, то, кажется, можно договориться...