Из: Как у В. А. Зорича получается это соотношение?

[zaven]

В принципе в этой главе автор почему то решил перескочить через промежуточные шаги.

Основная идея в том чтобы для каждого числа выбранного как Базис сначала ищем наибольшую степень для которого Х больше или равно.

Например если Х = 255 и базис равен 10, наибольшая степень будет = 2

10^2 = 100 <= 255 < 10^3 = 1000

q^p <= X < q^(p + 1)  формула (1)

потом  ищем более точное приближение, полагаясь на принцип Архимеда,

100 * 2 = 200 <= 255 < 100*3 = 300

10^2 * 2 <= 255 < 10^2 * (2+1)

если перейти на переменные будет

a_p * q^p <= X < (a_p + 1 ) * q^p
a_p * q^p <= X < a_p  * q^p + q^p  - формула (2)

a_p < q , потому что по формуле (1) X < q^(p + 1) , если поставим a_p = q => a_p * q^p = q * q^p = q ^ (p+1)

a по формуле (2)  Х >= a_p * q^p  =  q ^ (p+1)

-------------
так что a_p < q

q > 1

из q^p <= X следует что Х > 0 а из a_p * q^p <= X следует что a_p  > 0 

так что a_p из множества [1, ... (q - 1)]

-------------

как видно может остаться остаток, как при 255, он будет 255 - 200 = 55

если выразим остаток через степень основания 10 будет (которая поменьше предыдущей степени), полагаясь на принцип Архимеда:

10 * 5 <= 55 < 10 * 6

10^1 * 5 <= 55 < 10^1 * (5+1)

так остаток выражая переменными будет: Х - a_p * q^p

если из всех частей формулы (2) отнимем a_p * q^p будет

  0 <= X - a_p * q^p  <  q^p  

теперь берем степень на 1 меньше и выражаем остаток полагаясь на принцип Архимеда:

a_(p-1) * q ^ (p-1) <= X - a_p * q^p < (a_(p-1) + 1)  * q ^ (p-1)

 a_(p-1) * q ^ (p-1) <= X - a_p * q^p < (a_(p-1)  * q ^ (p-1) + q ^ (p-1)

из формулы   0 <= X - a_p * q^p  <  q^p   видно что a_(p-1) < q, a то  a_(p-1) * q ^ (p-1)  будет >= q^p а там видно что X - a_p * q^p  <  q^p

а из   0 <= X - a_p * q^p  видно что  a_(p-1)  >= 0 a от  a_(p-1) * q ^ (p-1)  будет <= 0

от сюда следует что  a_(p-1) из множества [0, 1, ... (q - 1)]

прибавим a_p * q^p всем частям:

 a_(p-1) * q ^ (p-1)  + a_p * q^p < X  < (a_(p-1)  * q ^ (p-1) + q ^ (p-1) + a_p * q^p  - формула (3)

так что выражаем Х пошагово убавляющимися степенями q и коэффициентами из  [0, 1, ... (q - 1)] или  [1, ... (q - 1)] для первого случая.

так можем продолжать.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
-
Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.