Задача на пространственное воображение

[vekos]

В кубе 5x5x5 выполнена секущая плоскость. Вопрос: сколько кубиков она разрежет?

[zykov]

$1+3+5+7+9=25$

[vekos]

Ответ правильный, только у меня несколько иначе: 10+15=25

[slavav]

У секущей плоскости есть свойство - она не пересекает ребра маленьких кубиков.

Тогда пересечение маленького кубика с плоскостью - треугольник подобный большому треугольнику. А длина стороны большого треугольника в пять раз больше маленького. Число пересечённых маленьких кубиков вычисляется из отношения площадей. Отсюда $5\times5=25$.

[vekos]

Все правильно. У меня на понимание общей картины ушло значительно больше времени. Зато неожиданно всплыл метод, позволяющий увидеть процесс и для четырехмерного пространства.

Пусть 4-куб 5x5x5x5 разрезан "плоским" сечением 3D (это будет правильный тетраэдр) по аналогии с предыдущим.
Вопрос такой же: сколько 4-кубиков разрежет это сечение?

[slavav]

Рассуждение то же. Если в пересечении с тетраэдром три координаты целые, то и четвёртая целая (это алгебра, тут геометрии нет). Следовательно тетраэдр или не пересекается с кубиком или вырезает из кубика подобный тетраэдр. Ответ $5^3$.

[ИСН]

Из маленьких тетраэдров (в отличие от треугольников) не складывается большой тетраэдр.

[slavav]

ИСН в сообщении #1590904 писал(а):

Из маленьких тетраэдров (в отличие от треугольников) не складывается большой тетраэдр.

Вы правы, чепуху написал.

[vekos]

Подскажу - там еще октаэдры появляются.

[TOTAL]

vekos в сообщении #1590893 писал(а):

Пусть 4-куб 5x5x5x5 разрезан "плоским" сечением 3D (это будет правильный тетраэдр) по аналогии с предыдущим.
Вопрос такой же: сколько 4-кубиков разрежет это сечение?

Попробую догадаться. В четырёхмерном случае разрезающая фигура цепляет уже не два слоя (как в трёхмерном случае), а три. Поэтому просто суммируем: $70+35+15$

[vekos]

Со слоями - в точку! С цифрами слегка промахнулись, логика правильная, но взяли не те.

[TOTAL]

vekos в сообщении #1591065 писал(а):

С цифрами слегка промахнулись, логика правильная, но взяли не те.

Вот вторая попытка (всего их у меня три!): $35+20+10$

[vekos]

Да, это три слоя разрезанных 4-кубиков. Если скажете, которые из них в разрезающем 3D-сечении являются тетраэдрами, а которые октаэдрами, будет просто здорово!

[TOTAL]

Тетраэдры - это $35+10$, октаэдры - $20$. Угадал?

[vekos]

Конечно.
Крайние слои - тетраэдры, средний - октаэдры.
У вас замечательная математическая интуиция.
У меня до Вашего понимания сей задачи ушел не один месяц, правда это было достаточно давно.
Сейчас, увы, занят. Освобожусь, напишу подробнее.