Средневзвешенное значение, когда некоторые веса отрицательны

[Евгений Машеров]

Кратко - инвестор верует в матожидание, спекулянт молится дисперсии

[Евгений Машеров]

Ну, без роста экономики и дисконтирования не будет. Или будет в форме инфляции, съедающей весь процент дохода... Отрыв процента от реального роста возможен, но заканчивается "большой инвентаризацией" в форме кризиса, а то и революции. Восстанавливающих соответствие реальных и номинальных капиталов.
А что до всяких фигур на графиках - то остро видится необходимость "экономической теории Рамсея", показывающей, что появление "значимых знаков" неизбежно даже без особого механизма их формирования.

[mihaild]

need_to_learn в сообщении #1592479 писал(а):

Вопрос в том, можно ли её вообще тогда называть средневзвешенной, или это математически некорректно? Существует ли строгое определение средневзвешенного значения как значения, при расчёте которого всегда используются только положительные веса?

Да как хотите называйте, только скажите об этом. Вводить свои определения вполне допустимо, если четко сказать, о чем речь (переезд в пургаторий происходит если пытаться использовать слова, не давая им определения).
Т.е. если Вы хотите назвать набор пар чисел "значениями с весами" и понятно как определить "взвешенную сумму" (если сумма весов ненулевая) - вряд ли кто-то будет Вам за это предъявлять претензии. Вопрос в том, что Вы дальше собираетесь делать с этим понятием.

need_to_learn в сообщении #1592479 писал(а):

Подавляющее большинство из тех, кто приходит на биржу, в итоге не получают там деньги, а очень даже оставляют. За их счёт и существует очень небольшое количество людей, чрезвычайно профессионально подходящих к вопросу, для которых биржа — не азартная игра, а скучная работа

За их счет существуют в основном брокеры и налоговая.
Если бы существовал способ надежно терять деньги на бирже кроме как на комиссиях, то существовал бы и способ надежно их получать (сверх индекса).

[Александрович]

need_to_learn в сообщении #1592395 писал(а):

Допустим, нам надо найти средневзвешенное значение при условии, что некоторые веса отрицательны. Если некоторые веса отрицательны, значит, их сумма может оказаться равна нулю или отрицательна. И как тогда быть?

Считать все веса положительными, доход положительным, а убыток отрицательным. Никаких проблем с нахождением средневзвешенного значения не будет.

[mihaild]

need_to_learn в сообщении #1592479 писал(а):

Она же — цена, ниже которой продавать акции уже невыгодно

А вот это для продаж без покрытия уже неверно. Если у Вас отрицательное количество акций, то при Вы получаете убыток при цене выше цены выхода в ноль, а не ниже.

[ipgmvq]

Евгений Машеров в сообщении #1592598 писал(а):

Ну, без роста экономики и дисконтирования не будет. Или будет в форме инфляции, съедающей весь процент дохода...

Дисконтирование слагается из

• инфляции/дефляции
• time value of money ("зачем мне давать кому-то деньги, чтобы мне потом долго возвращали порциями, хочу за это плату")
• "риск" точности ожидаемого денежного потока

Экономический рост соответствующего бизнеса не влияет на дисконт, но только на саму модель ожидаемого бесконечно растущего (но не быстрее, чем размер дисконта выше, иначе цена денежного потока в настоящем станет бесконечно большой) денежного потока, который генерит бизнес.

Представим ситуацию: ожидаемый экономический рост (в данном случае конкретного бизнеса) равен строго нулю (т.е. ожидается, что бизнес будет генерить каждый год после всех налогов строго $x$ денег и выдавать все эти $x$ дивидендами), прогнозируемая инфляция равна строго нулю, но за счет риска этой модели и time value of money инвесторы считают справедливым дисконт в 5%.
В этом случае стоимость этого бизнеса (его денежного потока) в настоящем будет $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x}{1.05^k}= \frac{x}{0.05} = 20\cdot x$
Из-за отсутствия роста денежного потока и инфляции ожидается, что стоимость этого бизнеса меняться в будущем не будет, но он (как ожидается) будет выплачивать по $x$ каждый год.

[Евгений Машеров]

Ну, давайте начнём с крайне наивной экономической модели. У нас никакого роста экономики нет, стабильное общество и только. Один чемпион маршмеллоу-теста вместо того, чтобы проесть полученные деньги, положил их в банк под проценты. Экономика по-прежнему не растёт, а вклад растёт. И рано или поздно сумма на счету вырастет больше, чем реальная экономика. Ну, скажем, какой-нибудь матрос Колумба не пропил бы всё жалование, а один дукат, три с половиной грамма золота, двести с небольшим долларов, положил бы в банк под 6% годовых. И нынче имел бы пять с половиной миллионов миллиардов долларов. То есть много больше всей мировой экономики. Ну, пусть тогда таких ставок не было, пусть лишь 3% (на самом деле были куда большие: В 16 веке краткосрочные процентные ставки резко упали - примерно с 20–30% в год до примерно 9–10% в год). Увы, всего 1.3 миллиарда. Что для нынешней экономики не столь много. А для Генуи XV века? Будет реальный рост капитала без роста экономики?
Теперь от "наивной наивности" перейдём к наивности математической. Идеализированная модель распределения капитала по множеству n проектов, каждый из которых приносит (а неважно что - денежку или Пользу Человечеству) при ассигновании на i-тый проект суммы $x_i$ величину $f_i(x_i)$. И надо максимизировать общую сумму "пользы" при ограничении на капитал $\sum x_i\le K$. Для упрощения примем, что "доходности" - монотонно неубывающие функции (что в реальности может быть неверно, но по внеэкономическим причинам, скажем, появление дополнительных денег может вызвать желание их украсть), впрочем, упрощение в том, что неравенство превращается в равенство. Решение легко получается через множители Лагранжа, $\max \sum f_i(x_i)+\lambda(\sum x_i - K)$, причём $\lambda$ и оказывается этой самой "оптимальной ставкой процента", отсекающей невыгодные вложения в пользу выгодных. Никакой инфляции тут нет, но ставка процента вот она. Но если у нас нет развивающейся экономики - нет новых бизнес-проектов, и нет распределения капитала.
Инфляция, безусловно, учтётся в реальной ставке процента, но это попросту учёт "усыхания линейки", распределяются, в конечном итоге, не бумажки, а реальные блага, и если благо соответствует выросшей сумме бумажек, то надо ввести поправку на этот дрейф, здесь даже не экономика, а метрология.
Риск оценки повлиять может, как премия за риск. Которая порождена нелинейностью, в силу которой в выражение для матожидания нелинейной функции входит не только матожидание аргумента, но и дисперсия (и более высокие моменты тоже).

[Евгений Машеров]

И терминологически. Я бы тут употреблял "взвешенные суммы", но не "средневзвешенные". Всё-таки "среднее" посредине. Меньше максимального, больше минимального. А с негативными весами можно и выскочить. Правда, в практике скользящих средних, когда приближают полиномом, могут появиться и отрицательные веса на краях (особенно если приближение не для точки посредине набора отсчётов). Но это числитель, знаменатель - сумма положительных.

[ipgmvq]

Евгений Машеров в сообщении #1592624 писал(а):

в банк под 6% годовых

Вы это наверняка не имели в виду, но на всякий случай оговорюсь, что речь выше идет о (первичном и вторичном) фондовом рынке акций (что обычно обозначается ёмким словом equity), не о банковских депозитах и в целом не о рынке долга. Конкретно банковские депозиты зачастую дают доходность ниже инфляции, потому что ключевая ставка ЦБ стран зачастую ниже (потребительской) инфляции. Соответственно при нулевой инфляции, депозиты в банках спокойно могли бы иметь отрицательную доходность, как было в некоторых странах Европы совсем недавно. Вернемся же к equity.

Евгений Машеров в сообщении #1592624 писал(а):

Но если у нас нет развивающейся экономики - нет новых бизнес-проектов, и нет распределения капитала.

Ограничимся наивной системой, в которой все акции имеют одинаковый риск, либо (что предпочтительно) все инвестируют пассивно исключительно в "широкий" индекс (через ETF).

Если взять каждого индивидуального члена общества (или household), который получает некий доход и/или на данный момент имеет в распоряжении $p$ денежных средств (будь то от текущего дохода или накопленных ранее), то для него теоретически можно построить неубывающую функцию $f_i(x)$, ограниченную интервалом $\left[ 0,\ p \right]$ и определенную на $x \geqslant 0 $, где $x$ — дисконт/прибыльность. Эта функция показывает индивидуальную (весьма нелинейную) готовность принять тот или иной дисконт при инвестировании каждой конкретной доли имеющихся в распоряжении средств в equity (не в банковский депозит, дающий зачастую доходность ниже инфляции). Кроме того, эта функция показывает сколько средств попытается высвободить со вторичного фондового рынка данный household, если дисконт пойдет вниз.

Функция $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^{n} f_i(x)$, где $n$ — количество households в системе, показывает общий supply капитала equity в системе в его зависимости от предлагаемого дисконта по equity.

У системы есть потребность в капитале (не только первичном, вероятно который Вы обозначили как $K$ выше, но и текущая во вторичном, которую можно назвать емкостью для вторичного капитала). И если предположить, что нетто-потребность в капитале не меняется, давайте считать его весь вторичным, хотя выбытие старого и приход нового бизнеса при постоянной экономике тоже будет случаться. Но это ещё не всё, ибо бизнес вне Госпланово-Канторовичевской оптимизации не будет готов принять капитал под любой дисконт. У него будет своя невозрастающая функция $g(x)$ зависимости потребности в капитале от размера дисконта.

Величина дисконта $x^{*}$, при котором $f(x^{*}) = g(x^{*})$ и будет эквилибриумом для этого упрощенного фондового рынка акционерного капитала. При уходе дисконта вверх бизнес будет возвращать капитал, обратно выкупая на вторичном (публичном в данном случае) рынке свои (слишком дешевые с их точки зрения) акции. При уходе дисконта вниз будет делать вторичные размещения акций для финансирования новых проектов, которые при прежнем дисконте казались нерентабельными. Также пластично будут вести себя и источники капитала, т.е. households.

[ipgmvq]

Евгений Машеров в сообщении #1592570 писал(а):

Кратко - инвестор верует в матожидание, спекулянт молится дисперсии

По-моему в этом в случае акций они похожи. Оба работают с матожиданием. Дисперсией занимаются спекулянты по опционам.

[ipgmvq]

Евгений Машеров в сообщении #1592624 писал(а):

через множители Лагранжа, $\max \sum f_i(x_i)+\lambda(\sum x_i - K)$, причём $\lambda$ и оказывается этой самой "оптимальной ставкой процента", отсекающей невыгодные вложения в пользу выгодных

Функция $ \sum f_i(x_i)+\lambda(\sum x_i - K) $ кажется неограниченой сверху по $\boldsymbol{x}$ и при $\sum x_i \ne K$ по $\lambda$, поэтому при оптимизации $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \lambda \end{pmatrix}$ улетит в бесконечность, разве нет?

[Евгений Машеров]

Нет, конечно. Это ЦФ, а ограничение на сумму капитала никуда не делось.

[Евгений Машеров]

ipgmvq в сообщении #1592703 писал(а):

По-моему в этом в случае акций они похожи. Оба работают с матожиданием. Дисперсией занимаются спекулянты по опционам.

Полагаю, нет. Спекулянт ожидает изменения цены во времени (или в пространстве, при межрыночном арбитраже). При нулевой дисперсии он ничего от спекуляции не получит, пресуществившись во инвестора...

[Евгений Машеров]

В общем, я не готов предлагать полноценную теорию процента (а был бы готов - попросил бы перенести тему в другой раздел, но пока ещё мы "на границе математики").
Но мне объяснение "производственными причинами", через решение оптимизационной задачи о распределении ресурсов, кажется обоснованнее "психологического", через "толерантность к дисконту". Не говоря уж о том, что для "психологического" объяснения приходится вводить непосредственно не наблюдаемые функции, определяющие готовность отложить потребление ради будущего, притом индивидуальные для каждого субъекта. А учёт реального мира означает, что при отсутствии экономического роста "капитал - самовозрастающая стоимость" растёт, отрываясь от реальной экономики, и рано или поздно отклонение превратится в отрыв. Или его компенсировать, инфляционно съедая его рост. Заменяя кризис или даже революцию "не взрывом, а всхлипом" по поводу роста цен и падения уровня жизни.
Отрицательные же ставки по вкладам, КМК, связаны именно с инфляцией, хотя иногда не с наблюдаемой, а с ожидаемой (как в ситуации, когда они впервые появились, во время Вьетнамской войны, в ожидании девальвации доллара).

[ipgmvq]

Евгений Машеров в сообщении #1592719 писал(а):

Нет, конечно

Евгений Машеров в сообщении #1592624 писал(а):

через множители Лагранжа, $\max \sum f_i(x_i)+\lambda(\sum x_i - K)$, причём $\lambda$ и оказывается этой самой "оптимальной ставкой процента"

Я понял, что Вы имели в виду. Тут $\max$ лишнее. Вы хотели, чтобы $\nabla_{\textbf{x},\ \lambda} \mathcal{L} = \textbf{0}$, т.е. найти седло.
Однако $\lambda$ будет отрицательной в этой точке.
Например, если проект один и его $f(x) = \ln(x+1)$, а $K = 1$ условно, то $\lambda = -0.5$
Я только не понял, в каком смысле такая $\lambda$ может быть дисконтом.

Евгений Машеров в сообщении #1592723 писал(а):

Спекулянт ожидает изменения цены во времени

Инвестор этого тоже ожидает. И дисперсия ему вредит, а не помогает в этом. Но она есть у инвестора увы тоже.