Предел последовательности, основанной на суммах

[Кролик]

Добрый вечер.
Последовательность чисел задаётся формулой:

$$ \eta(T) = \frac{1}{T^2}\sum\limits_{t=0}^{T-1}\left(\sum\limits_{\tau=0}^{t}\frac{1}{\sqrt{T-\tau}}\right)^{\!\! 2} ,\qquad T = 1, 2, 3, ... $$

Чему равен предел этой последовательности?

[zykov]

Кролик в сообщении #1592054 писал(а):

Чему равен предел?

Какой?

[Aritaborian]

Численно похоже, что $\frac{2}{3}$.

[adfg]

Похоже на двойной интеграл, то есть внешний интеграл, и квадрат интеграла внутри него, от функции $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

[мат-ламер]

adfg в сообщении #1592082 писал(а):

Похоже на двойной интеграл,

Точнее, похоже на сумму Римана-Дарбу для интеграла $I=\int\limits_{0}^{1} \left( \int\limits_{0}^{x} \frac{ dy }{ \sqrt{1-y} } \right)^2dx=\frac{ 2 }{ 3 }$ .

[vpb]

Учитывая, что ТС физег, попробуем для него изложить по рабоче-крестьянски. Прежде всего,

$$\sum_{n=1}^N n^\alpha=\int_1^N x^\alpha \,dx\ +O(1)=\frac1{\alpha+1}N^{\alpha+1}+O(1), \qquad \alpha>-1. $$

В частности,

$$ \sum_{n=1}^N \frac1{\sqrt n}=2\sqrt N+O(1), $$

откуда сумма в скобке есть $2(\sqrt T-\sqrt{T-t})+O(1)$. Возводя ее в квадрат, получаем

$$ 4(T+T-t)-8\sqrt{T(T-t)} +O(\sqrt T). $$

Суммируя последнее по $t$ от единицы до $T$, получаем $(2/3)T^2+O(T^{3/2})$ (детали вычислений оставляем читателю), откуда следует что нужно.

-- 02.05.2023, 10:28 --

А какие множители куда заносить, на что делить и умножать, чтоб там интегральная сумма получилась --- это так сразу не легко сообразить.

[vpb]

Сейчас сообразил, что в первой формуле остаточный член ошибочен. Надо $O(1)$ при $-1<\alpha\leq0$, и $O(N^\alpha)$ при $\alpha>0$. (Но на дальнейшее это не влияет).

[Кролик]

Большое спасибо за предложенное простое решение. Эту ветку можно считать закрытой.
В заключение добавлю только, что вычисление указанного выше предела необходимо в специальных задачах математической статистики.

[ozheredov]

vpb в сообщении #1592102 писал(а):

Прежде всего,

$$\sum_{n=1}^N n^\alpha=\int_1^N x^\alpha \,dx\ +O(1)=\frac1{\alpha+1}N^{\alpha+1}+O(1), \qquad \alpha>-1. $$

Sorry, можно для меня это момент подробнее (вывести)? Я тоже в этом смысле физег ) Формула нереально крутая, imho.

[Кролик]

ozheredov в сообщении #1592184 писал(а):

Формула нереально крутая, imho.

-- Формула с $O(1)$ верна только для $\alpha\in(-1, -1/2)$. Но его решение всё равно правильное.

[ozheredov]

Кролик

Кролик в сообщении #1592193 писал(а):

Формула с $O(1)$ верна только для $\alpha\in(-1, -1/2)$.

Для суммы первых и вторых степеней она вроде прокатывает (даже коэффициент похожий), а это явно больше минус одной второй. Вопрос в том, как доказать для "сильно нецелых" степеней.

[zykov]

ozheredov в сообщении #1592198 писал(а):

Вопрос в том, как доказать для "сильно нецелых" степеней.

Интеграл приблизить прямоугольниками.

[Padawan]

ozheredov
Посмотрите в Википедии статью Формула Эйлера-Маклорена.

[ozheredov]

zykov
Padawan
А, точно, догадался)

[vpb]

Кролик в сообщении #1592193 писал(а):

Формула с $O(1)$ верна только для $\alpha\in(-1, -1/2)$. Но его решение всё равно правильное.

Нет, она верна для всех $-1<\alpha\leq0$.

Странно. По моему, тут всё очень просто. Вот некоторое общее утверждение.

Пусть $a$ и $b$ --- целые и $a\leq b$, а $f$ --- функция на промежутке $[a,b]$, монотонная и сохраняющая знак (даже не обязательно непрерывная или тем более дифференцируемая) . Тогда

$$ \left|\sum_{n=a}^b f(n) -\int_a^b f(x)\,dx \right|\leq\max(|f(a)|, |f(b)|). $$

(Для доказательства достаточно оценить интеграл прямоугольниками сверху и снизу).