Предел последовательности, основанной на суммах

[RIP]

vpb в сообщении #1592312 писал(а):

Пусть $a$ и $b$ --- целые и $a\leq b$, а $f$ --- функция на промежутке $[a,b]$, монотонная и сохраняющая знак (даже не обязательно непрерывная или тем более дифференцируемая) . Тогда

$$ \left|\sum_{n=a}^b f(n) -\int_a^b f(x)\,dx \right|\leq\max(|f(a)|, |f(b)|). $$

Сохранение знака даже не нужно.

Можно ещё так сформулировать. Если функция неубывающая (для определённости), то

$$\sum_{n=a}^{b-1}f(n)\leqslant\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant\sum_{n=a+1}^{b}f(n),$$

или

$$f(a)\leqslant\sum_{n=a}^{b}f(n)-\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant f(b).$$

Для невозрастающей функции неравенства в другую сторону.