Множесто чисел вида (a^3+b^3)/(a^2+b^2)

[Edward_Tur]

Назовем натуральное число зелёным, если его можно представить в виде

$$\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2},$$

где $a,b$ -различные натуральные числа. Доказать, что произведение зелёных чисел также зелёное число.

[Null]

Если зеленое число умножить на любое натуральное получим зеленое число.

[juna]

Null в сообщении #1591192 писал(а):

Если зеленое число умножить на любое натуральное получим зеленое число.

Нет, конечно. У зелёных чисел числитель - сумма кубов тех же чисел, что квадратов в знаменателе.

[Andrey A]

$\dfrac{a^3+b^3}{a^2+b^2} \cdot k=\dfrac{(ak)^3+(bk)^3}{(ak)^2+(bk)^2}$
Причем единственное целое решение $a=b\ ;)$


Первое верно, поскольку $k=\dfrac{k^3}{k^2},$ второе видно из $\dfrac{a^3+b^3}{a^2+b^2}=a+b-\dfrac{ab(a+b)}{a^2+b^2}.$ Если $a,b$ вз. просты, то каждый множитель числителя последней дроби меньше знаменателя, и единственный общий делитель $>1$ возможен $\gcd \left ( (a+b),(a^2+b^2) \right )=2$ при нечетных $a,b.$ То есть $a=b=1.$

[Null]

$a=5,b=15$?

[juna]

Вот примеры нетривиальных ($a\not = b)$ зеленых чисел:

9, 14, 18, 27, 28, 35, 36, 42, 45, 54, 56, 63,  65, 70, 72, 76,  81, 84, 90, 91, 98, 99, 105, 108, 112, 117, 126, 130, 133, 135, 140, 144, 152, 153, 154, 162, 168, 171, 172, 175, 180, 182, 185, 189, 195, 196, 198, 207, 210, 216, 217, 224, 225, 228, 234, 238, 243, 245, 252, 260, 261, 266, 270, 273, 280,...

[Shadow]

Andrey A правильно написал про НОД. Откуда
$a=\dfrac{u(u^2+v^2)t}{2}, b=\dfrac{v(u^2+v^2)t}{2}, \gcd(u,v)=1$ И само числo $N=\dfrac{(u^3+v^3)t}{2}$

Тоесть, число зеленое, если имеет хотя бы один делитель - сумма кубов взаимнопростых различных чисел.

-- 26.04.2023, 08:41 --

juna, а $14$ зеленое?

Да, зеленое $(5,15)$

Цитата:

Тоесть, число зеленое, если имеет хотя бы один делитель - сумма кубов взаимнопростых различных чисел.

Правка - если удвоенное число имеед делитель - сумма кубов взаимнопростых различных чисел.

[juna]

Shadow в сообщении #1591212 писал(а):

juna, а $14$ зеленое?

$$\frac{15^3+5^3}{15^2+5^2}=14$$

[Null]

juna в сообщении #1591194 писал(а):

Нет, конечно. У зелёных чисел числитель - сумма кубов тех же чисел, что квадратов в знаменателе.

Неправда же. Можете написать контрпример?

[juna]

Null в сообщении #1591214 писал(а):

Неправда же. Можете написать контрпример?

Я Вас просто первоначально не понял.

[Null]

juna в сообщении #1591215 писал(а):

зеленое число умножить на любое натуральное, то получим зеленое число

Дак это же правда.

[Andrey A]

Да, конечно. Моя ошибка. Общее решение можно сформулировать так:
Для любой вз. простой пары $A,B$ существует $C=A^2+B^2$ или $=(A^2+B^2)/2$, если $A,B$ нечетные.
Тогда для $a=kAC,b=kBC$ дробь $\dfrac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$ есть целое число. А вот как ответить на вопрос является ли данное $m$ зеленым, надо еще подумать. Надо же как опростоволосился

P.S. Поскольку $\dfrac{a}{b}=\dfrac{A}{B}$, стоит поискать решение в рациональных числах.

[Руст]

$n=\frac{n^3+n^3}{n^2+n^2}$. Поэтому следует включить в условие взаимную простоту, так как
$\frac{(ac)^3+(bc)^3}{(ac)^2+(bc)^2}=c\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$.
Отсюда получается, что число зеленое тогда и только тогда, когда оно делится на сумму двух разных кубов.

[Andrey A]

Руст в сообщении #1591224 писал(а):

... когда оно делится на сумму двух разных кубов.

Или когда "удвоенное оно" делится на сумму двух разных кубов: $2 \cdot 14=3^3+1^3.$ Именно такие множители $m$ надо искать, тестируя $m$ на "зеленость". В списке juna все кратные $9,14,$ и т.д.

[juna]

Вообще зеленые числа можно получать из любой рациональной дроби вида $\frac{c^3+d^3}{c^2+d^2}=\frac{p}{q}, q\not = 1, \gcd(p,q)=1$ путем умножения на некоторое $k$, взяв в крайнем случае $k=n (c^2+d^2)$. Например,

$$5\cdot \frac{1^3+2^3}{1^2+2^2}\cdot 13\cdot \frac{1^3+5^3}{1^2+5^2}=3\cdot 41\cdot \frac{4^3+5^3}{4^2+5^2}$$