Получить число Пи из модели Эренфестов

[Geen]

svv в сообщении #1590689 писал(а):

выдавала текущее значение, скажем, каждую секунду, ну и следить, когда оно зафиксируется.

Ээээ, когда $i p_0 < 2^{-53} A$?...

-- 22.04.2023, 18:02 --

Только надо бы матрицу в квадрат возвести - всё равно чётно/нечётные "альтерируют"

-- 22.04.2023, 18:04 --

svv в сообщении #1590689 писал(а):

В последнем случае программа считала минут сорок

Там имеет смысл вместо 4-х внутренних циклов сделать один...

[zykov]

svv в сообщении #1590689 писал(а):

Так хотелось получить хотя бы $3.14159$, но нет.

Так посчитайте другим способом (например так).

[svv]

zykov
Надо всё-таки основываться на модели Татьяны Эренфест.

[sqribner48]

Здравствуйте.
А похоже, что с помощью модели Эренфестов невозможно с хорошим приближением получить число Пи.
Это можно объяснить наличием флуктуаций возле равновесия. И эти флуктуации всегда будут независимо от величин N и m. Причем равновероятны и большие флуктуационные отклонения от среднего.
Так, что статистически, дисперсия среднего времени возвращения всегда будет большой, независимо от величин N и m. Отсюда и неустойчивость результатов моделирования.
Кроме того погрешность возникает от "притянутой за уши" формулы Стирлинга. (это не мои слова, а слова Каца).
Вот denny в своем посте написал, что среднее время возвращения равно:
$\sqrt{2\pi N} $.
А откуда взялась эта формула? И где, пардон, следующие члены
$(N/e)^N \cdot Exp[1/(12\cdot N + 0.7509)]$ из формулы Стирлинга.
Куда они исчезли? А ведь эта формула и так имеет погрешность.
И честно говоря, мне вообще непонятно, как из формулы для среднего времени возвращения взятой из статьи М. Каца (Kac M.)

Цитата:

$ \theta_n = \frac{(R + n)!(R - n)!}{(2R)!} \cdot 2^{2R} $

где в обозначениях Каца R ---- в наших обозначениях $N/2$.
Тогда переходя к нашим обозначениям, получим

Цитата:

$ \theta_n = \frac{(N/2 + n)!(N/2 - n)!}{N!} \cdot 2^N $.

Уважаемые Geen и svv, пожалуйста прошу объяснить, как из формулы Каца получилась исходная у denny формула для среднего значения времени возвращения.

PS Работа Каца (легко гуглится, но на всякий случай даю адрес ниже)
Random Walk and the Theory of Brownian Motion Author(s): Mark Kac Source: The American Mathematical Monthly, Vol. 54, No. 7, Part 1 (Aug. - Sep., 1947), pp. 369-391 Published by: Mathematical Association of America Stable URL: http://www.jstor.org/stable/2304386 Accessed: 15/11/2010 13:28

[svv]

sqribner48
Формулу Стирлинга записывают в разных формах (см. статью Формула Стирлинга). Все эти варианты правильные (даже самый простой), если от правой части $f(n)$ требуется лишь, чтобы
$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{f(n)}{n!}=1$
Ниже это будет обозначаться $n!\sim f(n)$.

В формуле из статьи Марка Каца
$\theta_n = \frac{(R + n)!(R - n)!}{(2R)!} \cdot 2^{2R}$
следует взять $n=0$, тогда это будет мат.ожидание времени возврата к равновесию, а не к произвольному состоянию. Теперь применим самую простую из формул Стирлинга. Мы получим
$\theta_0 = \frac{R!R!}{(2R)!} \cdot 2^{2R}\sim\frac{(R^Re^{-R}\sqrt{2\pi R})^2}{(2R)^{2R}\,e^{-2R}\sqrt{4\pi R}}\cdot 2^{2R}=\sqrt{\pi R}=\sqrt{\pi N/2}$
Это совпадает с формулой из статьи Ehrenfest model.
Повторюсь, это справедливо в том смысле, что
$\lim\limits_{R\to +\infty}\frac{\theta_0(R)}{\sqrt{\pi R}}=1$
Для численных расчётов, конечно, лучше взять более точную формулу.

[sqribner48]

Уважаемый svv Большое Вам спасибо.
А я пробовал вычислить тоже самое, но у меня почему-то всегда получилось $\sqrt{\pi R/2 }$, где $R = N/2$. При расчете использовал Wolfram Mathematica v.7.
Вообще я считаю, что denny напрасно хвалил получение Пи по модели Бюффона. Ведь там сам автор писал

Цитата:

"Моделирование на основе Python3 с использованием Matplotlib для зарисовки эксперимента Буффона с иглой с параметрами $t = 5.0, l = 2.6$. Обратите внимание, что вычисленное значение Пи (ось y) приближается к 3.14 по мере того, как количество бросков (ось x) приближается к бесконечности."

Всего лишь приближается к 3.14.
А самый лучший способ получение числа Пи наверно все же чрез матрицу вероятностей.

[svv]

Мне трудно представить какой-то способ вычисления $\pi$, который нельзя было бы назвать методом последовательных приближений. Даже используя очень быстро сходящиеся ряды, мы всего лишь очень быстро приближаемся к $\pi$.

Матрица вероятностей, конечно, более продвинутый метод по сравнению с моделированием случайного процесса, но раз известна формула $\theta_0 = \frac{R!R!}{(2R)!} \cdot 2^{2R}$, лучше использовать прямо её. В последнем эксперименте я запустил программу с $R=200000$ и три часа ждал, пока результат стабилизируется в пределах желаемой точности. Получилось $\pi\approx 3.141596$ (как видите, последний знак неверный, ведь это тоже приближение). А с помощью этой формулы и WolframAlpha тот же результат получается моментально:
(R!*R!/(2*R)!*2^(2*R))^2/R where R=200000

[sqribner48]

svv
Спасибо. Все что вы показали очень интересно. Но согласитесь, это похоже на то, как великий Александр Македонский разрубил гордиев узел вместо того, чтобы его развязать.
Зачем использовать формулу Каца, когда известны другие алгоритмы расчета числа Пи с любым числом цифр? Вопрос который поднял в своем посте denny, как раз и заключается в том, чтобы определить число Пи с помощью статистического моделирования модели Эренфестов.

svv в сообщении #1591028 писал(а):

Мне трудно представить какой-то способ вычисления $\pi$, который нельзя было бы назвать методом последовательных приближений. Даже используя очень быстро сходящиеся ряды, мы всего лишь очень быстро приближаемся к $\pi$.

Этим вы подтверждаете невозможность определения Пи с приемлемой точностью посредством статистического моделирования. Я полностью с этим согласен и даже писал в одном тз своих постов.

sqribner48 в сообщении #1590934 писал(а):

с помощью модели Эренфестов невозможно с хорошим приближением получить число Пи.
Это можно объяснить наличием флуктуаций возле равновесия. И эти флуктуации всегда будут независимо от величин $N$ и $m$. Причем равновероятны и большие флуктуационные отклонения от среднего.
Так, что статистически, дисперсия среднего времени возвращения всегда будет большой, независимо от величин $N$ и $m$. Отсюда и неустойчивость результатов моделирования.

А сегодня я окончательно убедился в этом. Я вставил в свою программу несколько строк для определения и промежуточного вывода времени возвращения, разности числа шаров в урнах в соответствующие моменты времени (если принять каждый шаг алгоритма за 1 единицу времени (как писал Кац) и сделал несколько серий расчетов. Оказалось, что увеличение количества испытаний $m$ лишь приводит к появлению довольно больших значений времени возвращения (довольно редких) и к увеличению дисперсии этого времени. Кстати об этом писал Кац в своей работе. Он показал, что вблизи крайних значений дисперсия времени возвращения просто огромна и тогда невозможно говорить о каком то среднем значении времени возвращения.
Ну вот кажется и все. Спасибо всем участникам и denny за поднятую интересную тему.

[svv]

Вам тоже спасибо за интересное обсуждение.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

В гамаке, но только стоя!

Мне кажется, выбрав едва ли не наихудший способ оценивания Пи статистическим экспериментом, вряд ли стоит удивляться тому, что он плох. Модель Эренфестов связана со случайным блужданием, а там можно доблудить как угодно далеко. Поэтому и сходится плохо.

[sqribner48]

Уважаемый Евгений Машеров
Вы тысяча-стопитсот раз правы. Ведь не зря фундаментальная работа М. Каца называется
Random Walk and the Theory of Brownian Motion.
Но вообще-то, свою урновую модель Эренфесты предложили не для определения числа Пи.
Определение числа Пи из модели Эренфестов это побочная задача для любопытных умов.
Не мы эту тему подняли, а токмо хотели помочь…..
Однако следует отметить, что и в настоящее время модель Эренфестов довольно привлекательна для математиков и физиков (см., Например, работу Жерноклеева Г.А. и Мартюшева Л.М. «МОДЕЛЬ ЭРЕНФЕСТОВ КАК ОСНОВА ДЛЯ ПРОВЕРКИ СОВРЕМЕННЫХ ГИПОТЕЗ НЕРАВНОВЕСНОЙ ФИЗИКИ» )

[svv]

sqribner48 в сообщении #1591240 писал(а):

Но вообще-то, свою урновую модель Эренфесты предложили не для определения числа Пи.
Определение числа Пи из модели Эренфестов это побочная задача для любопытных умов.

Именно. Как соревнования по бегу на каблуках. Тема "Получить число Пи из модели Эренфестов" задана, и вопрос "зачем?" тут не ставится.

[Geen]

svv в сообщении #1591028 писал(а):

но раз известна формула $\theta_0 = \frac{R!R!}{(2R)!} \cdot 2^{2R}$, лучше использовать прямо её

На самом деле, мы можем использовать эту формулу для оценки числа шаров, необходимых для достижения заданной точности...

[svv]

Geen, да, спасибо. Фактически, я выше такую оценку и сделал, только в обратном направлении — какая ошибка получится для данного числа шаров. Для $R=N/2=200000$ формула даёт $3.141596...$ вместо $3.141592...$. Разница примерно $4\cdot10^{-6}$.

[sqribner48]

Geen

Geen в сообщении #1591244 писал(а):

мы можем использовать эту формулу для оценки числа шаров, необходимых для достижения заданной точности...

Не совсем понял. Необходимых для чего? Необходимых для достижения заданной точности для определения числа Пи с помощью статистического эксперимента? Но тогда это не совсем так. Поскольку при таком способе расчета Пи, точность будет зависеть не только от $N$, но и от $m$.
Произведенные расчеты (1 серия из 100 повторений) дали следующие значения Пи:
при $N = 200000$ и $m = 200000$ $\pi = 7.343587$
при $N = 200000$ и $m = 2000000$ $\pi = 3.52058$
при $N = 200000$ и $m = 2500000$ $\pi = 3.447521$
Аналогично расчеты в 10 сериях по 10 повторений в каждой) дали:
при $N = 200000$ и $m = 200000$ $\pi = 1.565435$
при $N = 200000$ и $m = 2000000$ $\pi = 3.594426$
при $N = 200000$ и $m = 2500000$ $\pi = 3.31143$
Причем для обоих методов расчета, значения числа Пи и среднего времени возвращения "гуляют" в огромных диапазонах.
Так что уважаемый Евгений Машеров прав.