Выражения из теории множеств. Случаи с пустым множеством

[mgromffs]

Здравствуйте. Можете, пожалуйста, проверить меня)
Правильно ли я понимаю, что составленные мной выражения верны:
1. $\varnothing$ $\notin$ {1, 2, 3, 4}
2. $\varnothing$ $\in$ {1, 2, 3, 4, $\varnothing$}
3. $\varnothing$ $\in$ {$\varnothing$}
4. $\varnothing$ $\subseteq$ $\varnothing$ - это истина, но $\varnothing$ $\subset$ $\varnothing$ - это ложь
5. {$\varnothing$} $\subset$ {1, 2, 3, 4, $\varnothing$}
6. $\varnothing$ $\subset$ {1, 2, 3, 4}
7. $\varnothing$ $\subset$ {1, 2, 3, 4, $\varnothing$}
8. {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4} ={1, 2, 3, 4}
9. x = y $\Leftrightarrow$ {x} = {y}
10. x = y $\Leftrightarrow$ {x, x}={y, y, y}
11. x = y $\Leftrightarrow$ x $\in$ {y} и y $\in$ {x}

[Anton_Peplov]

Да, всё верно.

Только формулы в следующий раз оформляйте правильно. Даже $\{1,2,3,4\}$ должно быть формулой. Чтобы отобразить фигурную скобку в формуле, поставьте перед ней слэш: \{

[mihaild]

В первом случае есть немного тонкий момент - что именно понимается под $1$, $2$, $3$, $4$. Обычно считается что $1 = \{\varnothing\}$, и дальше $2 = 1 \cup \{1\}$ и т.д., тогда всё правильно. Но стоит уточнить где-то в окрестности.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1589609 писал(а):

В первом случае есть немного тонкий момент - что именно понимается под $1$, $2$, $3$, $4$. Обычно считается что $1 = \{\varnothing\}$, и дальше $2 = 1 \cup \{1\}$ и т.д., тогда всё правильно. Но стоит уточнить где-то в окрестности.

Не пугайте человека, только-только осваивающего азы операций над множествами. Построение натуральных чисел средствами теории множеств и прочие основания математики ему сейчас не нужны. Да и вообще мало кому нужны.

[Aritaborian]

mihaild, в данной задаче, ИМХО, цифры это просто символы, обозначающие «что-то, что мы различаем друг от друга», и вместо них могли быть буквы $a$, $b$ etc., а вот эти построения по Расселу или как они называются, — не думаю, что их знание предполагается и должно учитываться.

[mihaild]

Такие определения на этом этапе знать вряд ли нужно. Но всё же в упражнениях на принадлежность нужно думать, что нужно от каждого значка в смысле множеств.
И если бы было написано $a, b, c, d$, то говорить $\varnothing \notin \{a, b, c, d\}$ точно нельзя, не сказав предварительно, что $a, b, c, d \neq \varnothing$.

[Aritaborian]

mihaild в сообщении #1589618 писал(а):

И если бы было написано $a, b, c, d$, то говорить $\varnothing \notin \{a, b, c, d\}$ точно нельзя, не сказав предварительно, что $a, b, c, d \neq \varnothing$.

И в самом деле; не подумал.

[Mikhail_K]

mgromffs
Замечание к 4-му пункту: Вы, конечно, здесь правы в рамках своей системы обозначений, но в многих математических книгах под $\subset$ понимается то, что Вы обозначили $\subseteq$ (и, соответственно, $M\subset M$ для любого множества $M$), а то, что Вы обозначили $\subset$, вообще никак не обозначается.

[mihaild]

Иногда $\subset$ означает собственное подмножество, а $\subseteq$ "возможно несобственное".
Иногда $\subsetneq$ означает собственное, а $\subset$ "возможно несобственное".
Мне представляется из-за этой неоднозначности вообще отказаться от $\subset$, а использовать только $\subseteq$ и $\subsetneq$.

[mgromffs]

Замечания учту. Всем спасибо за ответы