утверждение о числах вида a^2 + 5b^2

[mathematician123]

Верно ли следующее утверждение? Если натуральные числа $a, b, c$ таковы, что

$$a^2 + 5b^2 = c^3$$

$\gcd(a, b) = 2^l$, $l \ge 0$, то для некоторого $s \ge 0$ и целых $x, y$

$$2^{s}a + 2^{s}b\sqrt{-5} = (x + y\sqrt{-5})^3$$

Чем мотивировано утверждение? В теме https://dxdy.ru/topic149557.html я доказал, что если $-5$ является квадратичным вычетом по модулю нечётного простого числа $p$, то либо $p = n^2 + 5m^2$, либо $2p = n^2 + 5m^2$. В первом случае будем называть $p$ числом первого типа, а во втором - числом второго типа. Тогда подберём $s$ так, что $2^{2s}c^3 = 2^{3l}\prod p_i \prod (2q_j)$, где $p_i$ и $q_j$ соответственно простые первого и второго типов.

$$2^{2s}a^2 + 5 \cdot 2^{2s}b^2 = 2^{2s}c^3$$

Я думаю, с этим равенством можно проделать примерно то же самое, что делает Эдвардс в книге "Последняя теорема Ферма" в главе 2.5.
Тогда мы и получим $2^{s}a + 2^{s}b\sqrt{-5} = (x + y\sqrt{-5})^3$. Верны ли мои рассуждения?

[mathematician123]

Похоже, что верно более сильное утверждение. Если $a^2 + 5b^2 = c^3$ при взаимнопростых $a, b$ разной чётности, то $(a + b\sqrt{-5}) = (x + y\sqrt{-5})^3$ для некоторых целых $x, y$. А если $a^2 + 5b^2 = 2c^3$ при нечётных взаимнопростых $a, b$, то $(2a + 2b\sqrt{-5}) = (x + y\sqrt{-5})^3$.

Если это утверждение верно, то можно доказать, что единственным решением уравнения $x^2 + 20 = y^3$ является $(14, 6)$. Это решение обладает интересным свойством: НОД двух кубов равен 2.

$$\gcd((1+\sqrt{-5})^3, (1-\sqrt{-5})^3) = \gcd(14 + 2\sqrt{-5}, 14 - 2\sqrt{-5}) = 2$$

[victor.l]

$2$ является квадратичным вычетом $-5$только в первой степени. А потому диофантово уравнение вида $x^2+5y^2=(2m)^n$ где$n>1$ и$(x,y)=1$ решений не имеет.

[Shadow]

victor.l в сообщении #1590029 писал(а):

$2$ является квадратичным вычетом $-5$только в первой степени. А потому диофантово уравнение вида $x^2+5y^2=(2m)^n$ где$n>1$ и$(x,y)=1$ решений не имеет.

Оно не имеет решений по более простым причинам, как модуль $4$ например, но какое отношение это имеет к заданному вопросу?

[victor.l]

Это значит что диофантово уравнение вида $x^2+5y^2=2n^3$ при $(x,y)=1$ имеет решение если n произвольный квадратичный вычет $-5$ вида $4n+3$. Тоже самое для произвольных нечетных степеней.

[victor.l]

По поводу НОД двух кубов. Там еще делитель корень из двух имеется.