2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 утверждение о числах вида a^2 + 5b^2
Сообщение12.04.2023, 20:34 
Верно ли следующее утверждение? Если натуральные числа $a, b, c$ таковы, что
$$a^2 + 5b^2 = c^3$$
$\gcd(a, b) = 2^l$, $l \ge 0$, то для некоторого $s \ge 0$ и целых $x, y$
$$2^{s}a + 2^{s}b\sqrt{-5} = (x + y\sqrt{-5})^3$$

Чем мотивировано утверждение? В теме https://dxdy.ru/topic149557.html я доказал, что если $-5$ является квадратичным вычетом по модулю нечётного простого числа $p$, то либо $p = n^2 + 5m^2$, либо $2p = n^2 + 5m^2$. В первом случае будем называть $p$ числом первого типа, а во втором - числом второго типа. Тогда подберём $s$ так, что $2^{2s}c^3 = 2^{3l}\prod p_i \prod (2q_j)$, где $p_i$ и $q_j$ соответственно простые первого и второго типов.
$$2^{2s}a^2 + 5 \cdot 2^{2s}b^2 = 2^{2s}c^3$$
Я думаю, с этим равенством можно проделать примерно то же самое, что делает Эдвардс в книге "Последняя теорема Ферма" в главе 2.5.
Тогда мы и получим $2^{s}a + 2^{s}b\sqrt{-5} = (x + y\sqrt{-5})^3$. Верны ли мои рассуждения?

 
 
 
 Re: утверждение о числах вида a^2 + 5b^2
Сообщение13.04.2023, 12:01 
Похоже, что верно более сильное утверждение. Если $a^2 + 5b^2 = c^3$ при взаимнопростых $a, b$ разной чётности, то $(a + b\sqrt{-5}) = (x + y\sqrt{-5})^3$ для некоторых целых $x, y$. А если $a^2 + 5b^2 = 2c^3$ при нечётных взаимнопростых $a, b$, то $(2a + 2b\sqrt{-5}) = (x + y\sqrt{-5})^3$.

Если это утверждение верно, то можно доказать, что единственным решением уравнения $x^2 + 20 = y^3$ является $(14, 6)$. Это решение обладает интересным свойством: НОД двух кубов равен 2.
$$\gcd((1+\sqrt{-5})^3, (1-\sqrt{-5})^3) = \gcd(14 + 2\sqrt{-5}, 14 - 2\sqrt{-5}) = 2$$

 
 
 
 Re: утверждение о числах вида a^2 + 5b^2
Сообщение17.04.2023, 19:13 
$2$ является квадратичным вычетом $-5$только в первой степени. А потому диофантово уравнение вида $x^2+5y^2=(2m)^n$ где$n>1$ и$(x,y)=1$ решений не имеет.

 
 
 
 Re: утверждение о числах вида a^2 + 5b^2
Сообщение18.04.2023, 09:17 
victor.l в сообщении #1590029 писал(а):
$2$ является квадратичным вычетом $-5$только в первой степени. А потому диофантово уравнение вида $x^2+5y^2=(2m)^n$ где$n>1$ и$(x,y)=1$ решений не имеет.
Оно не имеет решений по более простым причинам, как модуль $4$ например, но какое отношение это имеет к заданному вопросу?

 
 
 
 Re: утверждение о числах вида a^2 + 5b^2
Сообщение18.04.2023, 18:19 
Это значит что диофантово уравнение вида $x^2+5y^2=2n^3$ при $(x,y)=1$ имеет решение если n произвольный квадратичный вычет $-5$ вида $4n+3$. Тоже самое для произвольных нечетных степеней.

 
 
 
 Re: утверждение о числах вида a^2 + 5b^2
Сообщение18.04.2023, 20:31 
По поводу НОД двух кубов. Там еще делитель корень из двух имеется.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group