Касательная плоскость к поверхности в точке

[Mad_Max]

Предположим, что $M\subset \mathbb{R}^m, m\geq 2$ такое что $a\in M$ и $a$ является предельной точкой $M$.

Определение. Плоскость $H$, которая проходит через точку $a$ называется касательной плоскостью к $M$ в точке $a$, если

$$\text{dist}(x,H)=o(\lVert x-a\rVert) \quad \text{при} \quad x\to a, x\in M.$$

Можно доказать следующую теорему.

Теорема. Предположим, что $F$ непрерывна в некоторой окрестности точки $a\in \mathbb{R}^m$, дифференцируема в точке $a$ и $\text{grad}F(a)\neq 0$. Тогда уравнение $\langle x-a,\text{grad}F(a)\rangle=0$ задает касательную плоскость к множеству уровня

$$M=\{x\in X: F(x)=F(a)\}.$$

Нам нужна непрерывность $F$ в некоторой окрестности точки $a$ чтобы показать, что $a$ является предельной точкой $M$.

Я довольно хорошо понял доказательство этой теоремы, но следующее следствие не совсем понятно, а точнее кажется что в условии что-то пропущено.

Следствие. Если функция $f$ дифференцируема в точке $a=(a_1,\dots,a_m)$, тогда ее график в точке $(a,f(a))$ имеют касательную плоскость, которая дана уравнением

$$y-f(a)=\langle \text{grad}f(a),x-a\rangle.$$

Я вроде понял доказательство следствия. Но поскольку оно следует из теоремы (в теореме мы предполагаем, что $F$ непрерывна в некоторой окрестности точки $a$, тогда в следствии мы также должны предположить, что $f$ также является непрерывной в некоторой окрестности точки $a$.
Я был бы крайне благодарен, если бы кто-нибудь объяснил мне этот технический момент.
Благодарю Вас!

[пианист]

Mad_Max в сообщении #1588482 писал(а):

Нам нужна непрерывность $F$ в некоторой окрестности точки $a$ чтобы показать, что $a$ является предельной точкой $M$.

Вроде бы (если я правильно понял все условия) для этого достаточно непрерывности в $a$.
А она следует из дифференцируемости в $a$, поэтому и.

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1588482 писал(а):

Нам нужна непрерывность $F$ в некоторой окрестности точки $a$ чтобы показать, что $a$ является предельной точкой $M$.

По-видимому, не только для этого. Вы бы не могли ссылочкой поделиться, что именно вы читаете?

Mad_Max в сообщении #1588482 писал(а):

но следующее следствие не совсем понятно, а точнее кажется что в условии что-то пропущено.

Само по себе это следствие выглядит вполне естественным. Другое дело, как оно встраивается в контекст изложения? Интересно познакомиться с первоисточником.

[Mad_Max]

пианист в сообщении #1588491 писал(а):

Вроде бы (если я правильно понял все условия) для этого достаточно непрерывности в $a$.
А она следует из дифференцируемости в $a$, поэтому и.

Не думаю! Если потребовать дифференцируемость в точке $a$, то отсюда следует непрерывность только в точке $a$, а не в целой окрестности точки $a$. Так ведь?

-- 06.04.2023, 17:32 --

мат-ламер в сообщении #1588530 писал(а):

Mad_Max в сообщении #1588482 писал(а):

Нам нужна непрерывность $F$ в некоторой окрестности точки $a$ чтобы показать, что $a$ является предельной точкой $M$.

По-видимому, не только для этого. Вы бы не могли ссылочкой поделиться, что именно вы читаете?

Mad_Max в сообщении #1588482 писал(а):

но следующее следствие не совсем понятно, а точнее кажется что в условии что-то пропущено.

Само по себе это следствие выглядит вполне естественным. Другое дело, как оно встраивается в контекст изложения? Интересно познакомиться с первоисточником.

Я читал доказательство очень внимательно и там непрерывность используется именно для того чтобы показать, что точка $a$ является предельной точкой множества уровня $M=\{x\in X: F(x)=F(a)\}$. Первоисточник - Б.М. Макаров, А.Н. Подкорытов "Гладкие функции и отображения"(страницы 62-64).

[Mad_Max]

пианист в сообщении #1588491 писал(а):

Вроде бы (если я правильно понял все условия) для этого достаточно непрерывности в $a$. А она следует из дифференцируемости в $a$, поэтому и.

Можно рассмотреть такую функцию

$$f(x) = \begin{cases} x, & \text{если }x\in \mathbb{Q} \\ -x, & \text{если }x\notin \mathbb{Q} \end{cases}$$

является дифференцируемой в нуле, но не является непрерывной ни в какой окрестности нуля. Получается то, что Вы сказали неверно.

[пианист]

Mad_Max
Я ничего по поводу непрерывности в окрестности не утверждал.
Впрочем, мое предположение, видимо, неверно, так что сори, не могу помочь.
Не знаю, что имели в виду уважаемые Б.М. Макаров и А.Н. Подкорытов.

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1588538 писал(а):

Я читал доказательство очень внимательно и там непрерывность используется именно для того чтобы показать, что точка $a$ является предельной точкой множества уровня

Приношу извинения. Я написал "по-видимому", поскольку с текстом доказательства теоремы знаком не был. Я сомневаюсь, что для доказательства теоремы достаточно всего лишь дифференцируемости функции $F$ в точке. Но там в условии есть ещё важная добавка - градиент в этой точке отличен от нуля. Достаточно ли существование и отличие от нуля градиента, я не знаю. По крайней мере контрпример мне придумать не удалось. Но я в этих делах слаб.

Выражаю благодарность за ссылку на книгу. Собираюсь ознакомиться поподробнее. Правда, в свободной закачке обнаружил лишь англоязычную версию книги.

Но как я понял, сомнения у вас были на счёт следствия. Вполне возможно для следствия наличие предельной точки будет выполняться обязательно. Либо это следствие можно будет доказать не как следствие из нашей теоремы, а как следствия определения дифференцируемости явной функции. Там отличие только в определении касательных пространств. Наверное можно будет доказать их равносильность. Но, что вас смущает именно в следствии, опишите поподробнее. А то не совсем понятно.

[пианист]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1588612 писал(а):

Собираюсь ознакомиться поподробнее

Really?
Я такое стану читать только под угрозой причинением тяжкого вреда здоровью.

[Mad_Max]

мат-ламер в сообщении #1588612 писал(а):

Но, что вас смущает именно в следствии, опишите поподробнее. А то не совсем понятно.

Непонятно следующее: в следствии они требуют, чтобы функция была дифференцируемой в точке $a$ и не говорят ничего про непрерывность в окрестности точки $a$. Но суть в том, что это следствие получается из теоремы где есть непрерывность в целой окрестности точки $a$ и конечно же есть дифференцируемость в точке $a$. Теперь понятен мой вопрос?

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1588687 писал(а):

Теперь понятен мой вопрос?

Теперь понятен! Чего то я тут затупил. Ведь вы в первом посту написали примерно то же самое.

Возвращаясь к следствию. Очевидно точка $a$ является предельной точкой для множества определения функции $f$ . И какую-то сходящуюся последовательность $x_n \to a$ выбрать можно. Тогда последовательность $\{x_n,f(x_n)\}$ сходится к $\{a,f(a)\}$ в топологии графика (то есть топологии декартового произведения) в силу непрерывности функции $f$. Тем самым первая часть теоремы доказана. Далее непрерывность в окрестности не используется.

А если на это следствие посмотреть с другой стороны, то можно заметить, что в определении касательной плоскости из теоремы расстояние можно измерять сугубо вдоль оси $y$ - это будет эквивалентное расстояние. И тогда следствие превратится просто в определение дифференцируемости функции в точке, в которой непрерывность в окрестности не нужна.

[Mad_Max]

мат-ламер
Что-то я Вас не очень понял. Можете объяснить более детально? Получилось немного словесное доказательство

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1588701 писал(а):

Можете объяснить более детально?

Я тут в большом затруднении. Я не знаю, что именно детально расписывать.

Mad_Max в сообщении #1588701 писал(а):

Получилось немного словесное доказательство

Ну, получилось как получилось. Я ведь не преподаватель и не обладаю ясностью мысли . Давайте поступим так. Вы задавайте очень конкретный вопрос. А я буду пробовать дать на него очень конкретный ответ. Если у меня это не получится, то может кто другой подключится.

[Mad_Max]

Вопрос такой: как вывести следствие из теоремы учитывая, что функция только дифференцируема в точке $a$ и нет непрерывности в целой окрестности точки $a$?

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1588616 писал(а):

Really?

Посмотрим

пианист в сообщении #1588616 писал(а):

Я такое стану читать только под угрозой причинением тяжкого вреда здоровью.

А что так? Тематика не интересна? Или изложение не очень?

[пианист]

мат-ламер
Совершенно неестественно в цитируемой теореме выглядят рассуждения о предельных точках и деталях различия непрерывности в точке и в окрестности.