Предположим, что

такое что

и

является предельной точкой

.
Определение. Плоскость

, которая проходит через точку

называется касательной плоскостью к

в точке

, если

Можно доказать следующую теорему.
Теорема. Предположим, что

непрерывна в некоторой окрестности точки

, дифференцируема в точке

и

. Тогда уравнение

задает касательную плоскость к множеству уровня

Нам нужна непрерывность

в некоторой окрестности точки

чтобы показать, что

является предельной точкой

.
Я довольно хорошо понял доказательство этой теоремы, но следующее следствие не совсем понятно, а точнее кажется что в условии что-то пропущено.
Следствие. Если функция

дифференцируема в точке

, тогда ее график в точке

имеют касательную плоскость, которая дана уравнением

Я вроде понял доказательство следствия. Но поскольку оно следует из теоремы (в теореме мы предполагаем, что

непрерывна в некоторой окрестности точки

, тогда в следствии мы также должны предположить, что

также является непрерывной в некоторой окрестности точки

.
Я был бы крайне благодарен, если бы кто-нибудь объяснил мне этот технический момент.
Благодарю Вас!