Касательная плоскость к поверхности в точке

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1588827 писал(а):

Совершенно неестественно в цитируемой теореме выглядят рассуждения о предельных точках и деталях различия непрерывности в точке и в окрестности.

Может вы знаете источники, где можно найти более естественное доказательство этой теоремы? Встречал доказательство этой теоремы для произвольных нормированных пространств. В этом варианте она носит имя Люстерника и доказательство получается сложноватое. Видел также доказательство этой теоремы как следствие теоремы о неявной функции.

-- Сб апр 08, 2023 20:08:33 --

пианист в сообщении #1588827 писал(а):

Совершенно неестественно в цитируемой теореме выглядят рассуждения о предельных точках и деталях различия непрерывности в точке и в окрестности.

Но если в книге есть неудачные места, это не значит, что она вся неудачная. Лично меня книга заинтересовала тем, что многие вопросы в ней имеют прикладную направленность. Так, рассматриваемая теорема может служить обоснованием для метода множителей Лагранжа. Теория Морса может служить для получения оценок о количестве экстремумов и подозрительных точек для задач многоэкстремальной оптимизации и т.д.

[пианист]

мат-ламер в сообщении #1588829 писал(а):

Может вы знаете источники, где можно найти более естественное доказательство этой теоремы?

У Вас разве есть какие-то сомнения в ее справедливости?

мат-ламер в сообщении #1588829 писал(а):

Но если в книге есть неудачные места, это не значит, что она вся неудачная.

Да, это верно. Конечно, если в книге излагается материал, который больше нигде не найти, то volens nolens придется продираться через изложение.

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1588835 писал(а):

У Вас разве есть какие-то сомнения в ее справедливости?

Не понял логики вопроса. А причём тут справедливость? Конкретно меня интересует именно доказательство. Ещё более конкретно, а для чего нужны некоторые предположении в условии. Например, можно ли обойтись без непрерывности в некоторой окрестности в условии?

[Mad_Max]

мат-ламер
Я вот целый день думал над этим вопросом. У нас есть теорема в условии которой есть непрерывность в целой окрестности точки $a$. Теперь хотим доказать следствие, но в следствии только дифференцируемость в точке. Очень интересно на самом деле!

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1588835 писал(а):

Конечно, если в книге излагается материал, который больше нигде не найти, то volens nolens придется продираться через изложение.

Я не думаю, что в книге изложен материал, который нигде не найти. Возможно многое есть в курсах анализа Шварца или Дьедонне. Но может в этой книге продираться будет проще.

[Mad_Max]

мат-ламер
Согласен с Вами! На самом деле книга написана очень хорошо и в ней затрагиваются темы, которые например в той же книжке Зорича не обсуждаются так детально.

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1588838 писал(а):

Теперь хотим доказать следствие, но в следствии только дифференцируемость в точке. Очень интересно на самом деле!

Мысль, которую я вам хотел донести вчера (но не получилось ), состоит в том, что непрерывность в теореме используется сугубо для доказательства того факта, что точка $x$ есть предельная точка для множества уровня (и это вы сами установили), а в следствии это выполняется автоматически (а тут уже моя мысль). Тут как-бы очевидный факт - если явная функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $a$ , то точка $a$ является предельной точкой для множества определения функции $f$ .

Также это будет выполняться автоматически, если эту теорему доказывать, исходя из теоремы о неявной функции. Там мы неявную функцию сводим к явной и там факт предельности очевиден. Однако, теорема о неявной функции требует своих предположений.

[пианист]

мат-ламер в сообщении #1588837 писал(а):

меня интересует именно доказательство. Ещё более конкретно, а для чего нужны некоторые предположении в условии. Например, можно ли обойтись без непрерывности в некоторой окрестности в условии?

Не, сори, это далеко от моих интересов.
В Гелбауме, Олмстеде смотрели?

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1588849 писал(а):

В Гелбауме, Олмстеде смотрели?

Первым делом посмотрел туда, но конкретно это не нашёл.

[Mad_Max]

мат-ламер в сообщении #1588841 писал(а):

Мысль, которую я вам хотел донести вчера (но не получилось ), состоит в том, что непрерывность в теореме используется сугубо для доказательства того факта, что точка $x$ есть предельная точка для множества уровня (и это вы сами установили), а в следствии это выполняется автоматически (а тут уже моя мысль). Тут как-бы очевидный факт - если явная функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $a$ , то точка $a$ является предельной точкой для множества определения функции $f$.

Пожалуй я с Вами не соглашусь. Позвольте мне написать более подробно почему то, что Вы написали не совсем корректно.
Что у нас дано в следствии? Есть функция $f:U(a)\to \mathbb{R}$ определенная в окрестности $U(a)$ точки $a\in \mathbb{R}^m$ и она же дифференцируемая в точке $a$.
Давайте рассмотрим новую функцию $F:U(a)\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ определенная как $F(\vec{x},y)=f(\vec{x})-y$.
Пусть $c:=(a,f(a))$, тогда несложно увидеть что:
a) $U(a)\times \mathbb{R}$ - окрестность точки $c\in \mathbb{R}^{m+1}$;
б) $F(c)=0$;
в) $F$ дифференцируема в точке $c$ и $\text{grad}F(c)=(\text{grad}f(a),-1)$;

Действительно, поскольку функция $F$ дифференцируема в точке $c$, то тогда $c$ является предельной точкой для $U(a)\times \mathbb{R}$ так как это множество и есть область определения функции $F$.

Но отсюда никак не следует что точка $c$ является предельной для множества $M=\{(\vec{x},y)\in U(a)\times\mathbb{R}: y=f(\vec{x})\}$. А это нам надо и показать.

Вот почему я Вас просил писать более детально поскольку the devil is in the details.

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1588857 писал(а):

Но отсюда никак не следует что точка $c$ является предельной для множества $M=\{(\vec{x},y)\in U(a)\times\mathbb{R}: y=f(\vec{x})\}$. А это нам надо и показать.

Вспоминаю, что я чего-то там писал на счёт топологии графика, то есть топологии декартового произведения области определения и области значения функции. Но над деталями буду думать уже завтра, ибо спать собираюсь.

Вот какую-то ссылку накопал (стр.19, теорема 3), если кому интересно (лично я заинтересовался).

А вот эта статья для меня сложновата будет. Но хотя бы общий смысл уловить.

[Mad_Max]

Поскольку $U(a)$ - окрестность точки $a$, тогда существует последовательность $\{a_n\}\in U(a)\setminus \{a\}$ такое, что $a_n\to a$. В силу непрерывности $f$ в точке $a$ следует что $f(a_n)\to f(a)$. Значит, $(a_n,f(a_n))\to (a,f(a))$ и $(a_n,f(a_n))\neq (a,f(a))$ и также $(a_n,f(a_n))\in M$ по определению множества $M$. Значит, $(a,f(a))$ - предельная точка $M$.

Ну и дальше в лоб доказывается что плоскость будет касательной к графику $f$ (т.е. к множеству $M$) в точке $(a,f(a))$

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1588908 писал(а):

Поскольку $U(a)$ - окрестность точки $a$, тогда существует последовательность $\{a_n\}\in U(a)\setminus \{a\}$ такое, что $a_n\to a$. В силу непрерывности $f$ в точке $a$ следует что $f(a_n)\to f(a)$. Значит, $(a_n,f(a_n))\to (a,f(a))$ и $(a_n,f(a_n))\neq (a,f(a))$ и также $(a_n,f(a_n))\in M$ по определению множества $M$. Значит, $(a,f(a))$ - предельная точка $M$.

Всё правильно. А вот, что писал я:

мат-ламер в сообщении #1588698 писал(а):

Возвращаясь к следствию. Очевидно точка $a$ является предельной точкой для множества определения функции $f$ . И какую-то сходящуюся последовательность $x_n \to a$ выбрать можно. Тогда последовательность $\{x_n,f(x_n)\}$ сходится к $\{a,f(a)\}$ в топологии графика (то есть топологии декартового произведения) в силу непрерывности функции $f$. Тем самым первая часть теоремы доказана.

Примерно то же самое. Возможно другими (может незнакомыми) словами.