Однородная система уравнений. Путаница в показаниях

[need_to_learn]

В разных местах вычитал два расходящихся друг с другом определения.

Вот здесь говорится писал(а):

Определение
Многочлен $P(x;y)$ называется однородным многочленом степени $n$, если все одночлены, входящие в его состав, имеют степень $n$.

Например, многочлен $P(x;y) = 12x^4 - 5x^2y^2 - 7xy^3$ является однородным многочленом четвертой степени.

Определение
Уравнение $P(x;y) = 0$ называется однородным уравнением степени $n$, если является однородным многочленом степени $n$.

...

Определение
Система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{rcl} P_1(x;y)=d_1, \\ P_2(x;y)=d_2, \\ \end{array} \right.$$

где $P_1(x;y)$ и $P_2(x;y)$ — однородные многочлены одинаковой степени $n$, называется однородной.

В то время как в другом источнике:

Основы алгебры, Тыртышников Е.Е., 2017 г., стр. 13-14 писал(а):

Итак, рассмотрим систему вида

$$\left. \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2, \\ ... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m, \\ \end{array} \right{(*)}$$

...

Система $(*)$ с нулевой правой частью $b_1 = ... = b_m = 0$ называется однородной.

Поправьте меня, если я ошибаюсь, но по-моему, это совершенно разные вещи!

В первой цитате достаточно лишь того, чтобы многочлены были однородные, при этом равенство нулю даже не обязательно.

Во второй же цитате однородной является система уравнений вида $P(x_1;x_2;...;x_n) = 0$, и при этом про требование однородности многочленов вообще ничего не говорится. Лишь бы количество переменных совпадало, а их степени, судя по всему, могут быть равны лишь единице.

И как это всё понимать? Где истина?

[EminentVictorians]

need_to_learn в сообщении #1588466 писал(а):

Поправьте меня, если я ошибаюсь, но по-моему, это совершенно разные вещи!

Я бы не сказал, что совсем уж разные. В первой - система алгебраических уравнений (т.е. многочлены), во второй - СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений; левые части которых тоже многочлены). Но в принципе (если, например, добавить требования $d_1, d_2 = 0$, т.е. просто перенести их в левую часть), то можно считать вторую цитату частным случаем первой. И, более того, это прослеживается даже на некоторых теоретических вещах, в частности метод Гаусса (для СЛАУ - 2-ая цитата) является частным случаем алгоритма Бухбергера (для полиномов; 1-ая цитата).

[vpb]

need_to_learn в сообщении #1588466 писал(а):

Поправьте меня, если я ошибаюсь, но по-моему, это совершенно разные вещи!

Нет, не совершенно разные, а довольно похожие. И в том, и в другом случае система состоит из уравнений, у каждого из которых левая часть --- однородный многочлен, а правая --- число.

need_to_learn в сообщении #1588466 писал(а):

В разных местах вычитал два расходящихся друг с другом определения.

Ну и что ? В разных математических текстах или других источниках одним и тем же словом или словосочетанием могут обозначаться разные понятия (как правило, похожие). Это обычная ситуация. То значение слов "однородная система", что у Тыртышникова, используется очень широко, а то, что в фоксфорде --- довольно узко (в пределах школьного курса, принятого в России). Когда имеете дело со школьным курсом, держите в голове второе значение, а когда изучаете курс алгебры в университете --- первое.

[Евгений Машеров]

А ещё есть слово "коса". Одни говорят, что это сельхозинструмент, вторые, что причёска, третьи - географический объект, элемент рельефа, четвёртые... пятые... Где истина?!
Слов в языке конечное число, а математических объектов бесконечно много. Вот и приходится...

[TOTAL]

need_to_learn в сообщении #1588466 писал(а):

И как это всё понимать? Где истина?

Я тоже встречал путаницу.

1) Красный автомобиль
2) Красный воздушный шарик

Так кто же имеет право быть красным, где истина?

[Mihr]

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #1588483 писал(а):

Так кто же имеет право быть красным

1) Девица
2) Слово
3) Граница фотоэффекта
4) Черта
5) Вино
6) Армия
7) Уголок
8) Смородина
9) Вершина (ребро) "раскрашенного" графа
10) Кажется, это не всё...

[Евгений Машеров]

need_to_learn в сообщении #1588466 писал(а):

В разных местах вычитал два расходящихся друг с другом определения.

Да, и на всякий случай. Это не определения одного и того же слова "однородный". Это определения двух разных объектов. Системы полиномиальных уравнений, составленной из однородных многочленов и однородной системы линейных уравнений. Прилагательное - оно к существительному прилагается.

[need_to_learn]

Спасибо всем за ответы. :)

Евгений Машеров в сообщении #1588486 писал(а):

Это не определения одного и того же слова "однородный". Это определения двух разных объектов. Системы полиномиальных уравнений, составленной из однородных многочленов и однородной системы линейных уравнений. Прилагательное - оно к существительному прилагается.

Вот эта тонкость и была мне не совсем понятна. (Казалось бы, и там, и там системы уравнений...) Теперь вроде дошло.

Евгений Машеров в сообщении #1588481 писал(а):

А ещё есть слово "коса". Одни говорят, что это сельхозинструмент, вторые, что причёска, третьи - географический объект, элемент рельефа, четвёртые... пятые... Где истина?!
Слов в языке конечное число, а математических объектов бесконечно много. Вот и приходится...

Но в обычном языке чаще всего всё интуитивно понятно, и не возникает особых проблем — разве что у иностранцев с изучением языка, всякие там "косил косой косой косой" частенько вводят их в ступор.

А вот как математики друг друга понимают, кто что имел в виду?.. Это же ведь точная наука, там два-три небольших недопонимания — и забредаешь не туда, в такое болото, куда даже Сусанин не стал бы поляков вести. И что, получается, каждый раз надо возвращаться, пересматривать весь текст и ломать голову, пытаясь догадаться, в каких местах твоё понимание используемых терминов расходится с авторским?.. И это считается нормальным?

[artempalkin]

need_to_learn в сообщении #1588493 писал(а):

А вот как математики друг друга понимают, кто что имел в виду?.. Это же ведь точная наука, там два-три небольших недопонимания — и забредаешь не туда, в такое болото, куда даже Сусанин не стал бы поляков вести. И что, получается, каждый раз надо возвращаться, пересматривать весь текст и ломать голову, пытаясь догадаться, в каких местах твоё понимание используемых терминов расходится с авторским?.. И это считается нормальным?

Нет, ну все же здесь из контекста обычно понятно.
Например, у Кострикина на стр. 143 1 тома читаем:

Цитата:

Предостережение. Слово "порядок" в математике многозначно. Мы говорили раньше о квадратных матрицах порядка $n$ <...>, но невырожденная матрица $A$, рассматриваемая как элемент группы $GL_n(\mathbb{R})$, имеет так же порядок <...> в только что указанном смысле. Каждый раз будет ясно из контекста, о чем идет речь.

То есть, занимаясь вопросами групп матриц, человеку как бы нужно дважды думать, когда речь идет о порядке матриц. Ну да, как-то так, а что сделать

Есть еще более яркий пример, который постоянно возникает у меня в процессе занятий, но сейчас никак не могу его вспомнить...

-- 06.04.2023, 10:52 --

Да, вспомнил, он связан с тем же понятием однородности.

В обычном курсе дифуров есть два понятия "однородного ДУ": просто однородное первого порядка либо однородное линейное ДУ высших порядков. Никакой связи между двумя этими типами (и методами их решения), кроме обозначенной предыдущими отметившимися в этой теме, нету. Более того, можно придумать уравнение, соответствующее обоим типам сразу (например, $xy'+y=0$ является "однородным" в обоих смыслах, "линейным однородным" и "однородным первого порядка", и что-то я не очень наблюдаю здесь похожести в смыслах).

К большим проблемам это не приводит, но немного забавно, как по мне. Забавно еще то, что Филиппов, кажется, вообще никак этот момент не комментирует :) просто уже использовавшийся однажды термин начинает использоваться в совершенно другом значении.

[need_to_learn]

artempalkin в сообщении #1588494 писал(а):

Ну да, как-то так, а что сделать

Эм-м, а как насчёт того, чтобы просто придумать новое слово? Если у слова "порядок" несколько значений, то можно придумать "зарядок", "прирядок", "возрядок", "отрядок", "нарядок" и сколько угодно ещё новых слов, и раскидать по ним наиболее часто используемые значения.

Конечно, если каждый будет так делать отдельно от остальных, то быстро наступит хаос. Но можно ведь создать единую систему учёта новых вводимых терминов, что-то вроде википедии, которую смогут править достаточно авторитетные пользователи — авторы учебников, курсов лекций и научных статей, с ограничением на количество новых слов в год.

Разве это не проще, чем навешивать тонны значений и оттенков значений на одно слово? Встретил в тексте какой-нибудь "прирядок", думаешь, что за зверь, идёшь на специальный сайт и моментально узнаёшь точное значение "по ГОСТу".

Просто складывается впечатление, что процесс введения новых терминов и понятий в математике до сих пор никак не упорядочен и происходит стихийно, как в естественном языке. А до того, как всех задолбает недопонимание, люди либо маются с неоднозначностью слов, либо обходятся многоэтажными описаниями вместо одного короткого названия, либо пишут предупреждения с уточнениями.

Можно понять, когда такое положение вещей было в древности, но сейчас-то, с современными технологиями?..

[miflin]

(Оффтоп)

need_to_learn в сообщении #1588496 писал(а):

Эм-м, а как насчёт того, чтобы просто придумать новое слово? Если у слова "порядок" несколько значений, то можно придумать "зарядок", "прирядок", "возрядок", "отрядок", "нарядок" и сколько угодно ещё новых слов, и раскидать по ним наиболее часто используемые значения.

Сомнений нет, Вами движут благие намерения.

[mihaild]

Так математика - довольно децентрализованная деятельность, нет единой организации, которая может отвечать за словарь. Когда кому-то нужно понятие, он его называет первым попавшимся словом, еще не занятым в его области. Или даже не первым попавшимся, а обозначающим что-то похожее в другой области.
Или даже никак не называет (понятие вводит, термин нет), а потом кто-нибудь другой при ссылке вводит слово и добавляет фамилию первого автора. Которая при последующих пересказах может потеряться, замениться на какое-то другое или сохраниться.
Плюс "так исторически сложилось".

Математика тут не уникальна. В крупных проектах по разработке ПО такой же бардак (одно и то же слово означает сервис, конкретный бинарник внутри сервиса, формат данных, протокол и еще неизвестно что), даже при формальном наличии централизованного управления.

[need_to_learn]

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1588497 писал(а):

Сомнений нет, Вами движут благие намерения.

Если благими намерениями вымощена дорога в ад, это по определению означает, что дорога, ведущая из ада, вымощена ими же.

mihaild в сообщении #1588498 писал(а):

Математика тут не уникальна.

Но это та область, в которой бардак с терминологией доставляет больше всего неудобств.

(Оффтоп)

А так да, вероятно, это универсальное свойство человеческой природы... Возможно, когда-нибудь массовое вживление людям мозговых нейрочипов с объединением их в единую беспроводную сеть сможет решить данную проблему (хотя, конечно, добавит новых проблем).

[Aritaborian]

(Оффтоп)

need_to_learn в сообщении #1588499 писал(а):

Если благими намерениями вымощена дорога в ад, это по определению означает, что дорога, ведущая из ада, вымощена ими же.

Не факт. Если дорога вымощена благими намерениями, то она ведёт в ад, но в ад (и из него) могут вести и другие дороги, вымощенные чем-то иным. Например, дурными намерениями.

[mihaild]

need_to_learn в сообщении #1588499 писал(а):

Но это та область, в которой бардак с терминологией доставляет больше всего неудобств.

При изучении математики, особенно на начальных уровнях - да. При занятиях ей - ИМХО не особо.
Вот скажем в теории множеств очень удобно считать ноль натуральным числом, а в анализе хочется делить на натуральные числа, и соответственно ноль натуральным числом не считать. При этом во всех остальных вопросах от натуральных чисел нужны одни и те же свойства (в первую очередь индуктивность). Нужно ли ради этого заводить два термина? ИМХО нет.